T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
1.2.2 Marche aléatoire sur Zd, d > 1
Définition 1.2.3. Soit
(e1,··· ,ed) la base
canonique de Zd.Soit (Mn)
une suite infinie de variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées, à valeurs dans l'ensemble fini
{+e1,+e2,···
,+ed} tel que Vk E
{1,··· ,d} :
1
P{Mk = +ek} = P{Mk = -ek} =
2d
On pose :
0=0
{
Sn =
Xn i=1
Mi
21
La suite (cn)n>0 est
appelée marche aléatoire sur
Zd.
Dans la suite, on s'intéresse au cas d = 2 et
d = 3.
Considérons maintenant une marche aléatoire
à 2 dimensions. Dans ce cas, la particule aura 4 mouvements possibles :
en avant et en arrière (comme en dimension 1) et à droite et
à gauche.(voir la simulation)
On remarque que la probabilité pour chaque mouvement
possible mk pour k E 1,2,3,4
(m1 monter, m2 descendre, m3 à droite,
m4 à gauche) est égale à
P{6
1 =1
P{Si=mk} = 2.2 4
Considérons maintenant une marche aléatoire
à 3 dimensions. Dans ce cas, la particule aura 6 mouvements possibles :
en avant, en arrière, à droite et à gauche(comme en
dimension 2)et en haut et en bas. (voir la simulation)
On remarque que la probabilité pour chaque mouvement
possible mk pour k E
{1,2,3,4,5,6} est égale
à
P16
1 =1
P16 mk} 2.3 6
pour i = 1,2,···
,n
Théorème 1.7.
(Théorème de Polya) On considère une marche
aléatoire simple symétrique sur Zd.
Si d < 3 la marche aléatoire est récurrente. Si d
> 3 la marche aléatoire est tran-siente.
Simulation
Les graphes suivants représentent respectivement la
simulation du marche aléatoire sur Z den = 1000 pour p
= 23
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
1
pour p = 3
Les graphes suivants représentent respectivement la
simulation du marche aléatoire sur Z
den=1000pourp=q= 2 1
22
Conclusion :
· Lorsque p > q
la tendance est croissante.
· Si p < q la tendance est
décroissante.
Le graphe suivant représente la simulation du marche
aléatoire sur Z2
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
Les graphes suivants représentent respectivement la
simulation du marche aléatoire sur Z3 de n = 50 ,n =
100,1000
23
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
24
1.3 Mouvement brownien
Inroduction : Le mouvement brownien
décrit le déplacement, d'une particule en suspension dans un
liquide, par exemple celui d'un grain de pollen dans l'eau. Bien que plusieurs
scientifiques aient imaginé ou observé le mouvement brownien bien
avant Robert Brown, celui-ci est le premier à publier en 1827 des
résultats d'observation de ce mouvement au microscope. En 1905, Albert
Einstein présente une description quantitative du mouvement brownien qui
permet notamment d'estimer la dimension des molécules, et plus tard de
définir le nombre d'Avogadro, le mouvement dans n'importe quelle
direction donnée en fonction du temps est aussi alors décrit
comme n'ayant pas de tangente en tout point. Finalement, c'est Norbert Wiener
qui développe la théorie mathématique de ce mouvement en
1923, basée sur la théorie des probabilités, et confirme
que les trajectoires de ce mouvement sont presque sûrement continues,
mais nulle part différentiables. Le mouvement brownien est un processus
stochastique à temps continu
FIGURE 1.3 - Représentation du mouvement
brownien.
et à espace d'états continu. Il est aujourd'hui
appliqué dans une plusieurs de domaines, surtout en finance.
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