Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

1.3.3 Quelques modifications du Mouvement Brownien

Le Mouvement Brownien absorbé

FIGURE 1.4 - Mouvement Brownien absorbé

Définition 1.3.2. On s'intéresse du mouvement Brownien commencé en x.Désignons par T le premier instant où ce mouvement brownien atteint la valeur 0

Le processus (Z(t))t~0 défini par:

Z(t) =

? ? ?

B(t), si t < T 0 si t > T

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Ce processus est appelé mouvement brownien absorbé. mouvement brownien à dérivé

Définition 1.3.3. Soit (B(t))t~0 un mouvement brownien et /1 un nombre réel. Le proces-sus (Y (t))t~0,où Y (t) = B(t) + ,it,est appelé mouvement brownien à dérive;la constante

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

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u est le paramètre de dérivé.

Le mouvement brownien géométrique

Définition 1.3.4. Soit (B(t))t~0 un mouvement brownien Le processus (X(t))t~0, où X(t) = eB(t), est appelé mouvement brownien géométrique.

1.3.4 Mouvement Brownien multidimensionnel

Définition 1.3.5. Un processus B = (Ù,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P) à valeurs dans R^d est appelé mouvement brownien d-dimensionnel si

1) B(0) = 0 P -p.s.

2) V0 < s < t, la variable aléatoire B(t) - B(s) est indépendante à F_s.

\/3) V0 < s < t,B(t) - B(s) est de loi gaussienne .,A/d(0, (t - s)Id) où Id est la matrice identité de R^d.

Simulation

On simulera le mouvement Brownien en R2

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

1.3.5 Régularité des trajectoires Brownien Variation quadratique des trajectoires

Rappel : Soit f : [a,b] -+ R et 7r : a = t0 < t1 < t2 <
·
·
· < t_n = b une subdivisions de [a,b].

La variation ( resp.la variation quadratique) de f est défini avec la formule Vð =		n-1X k=0	|f(tk+1-
n-1X f(tk))| (resp.V (2) ð = k=0	(f(tk+1) - f(tk))^2) et la variation (Total) de f sur [a,b] est égale

à Vf a,b = sup

ð Vð.

· La fonction f est alors dite à variation bornée sur [a,b] si V a,b

f < +oo (f est dite aussi

à variation finie sur [a,b]).

· Lorsque V a,b

f = +oo ,on dit que f est à variation non bornée sur [a,b] (ou à variation infinie sue [a,b]).

· On définit la variation quadratique (totale) des processus comme la limite [f]a;b =

lim gðg-+0

V (2) ð .

où |7r| = max (tk+1 - tk) est le pas de la subdivision 7r. 0<k<n

· Si f est continue et à variation borné, sa variation quadratique est nulle.

Soit maintenant B(t)t>0 un mouvement brownien.

On va étudier la variation quadratique de ses trajectoires sur un intervalle de temps quelconque [s,t] pour une subdivision 7r : s = t0 < t1 < t2 <
·
·
· < t_n = t, on pose :

V (2) ð =	n-1X k=0	(B(tk+1) - B(tk))^2
Démonstration. On commence à remarquer que h =				Xn i=1	(ti - ti-1)

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V (2)

ð est une variable aléatoire dont on va considérer la convergence au sens de L².

Proposition 9.

lim

gðg-+0

i.e

V (2)

ð = t - s dans L2

lim

gðg-+0

E((V (2)

ð - (t - s)²) = 0

.

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

_Xn i=1

Y_n =

_Xn i=1

Soit

|B(ti) - B(ti-1)|² - (t - s)

_{h i}

|B(ti) - B(ti-1)|² - (ti - ti-1)

n i=1

Xi

Où

Xi = |B(ti) - B(ti-1)|² - (ti - ti-1)

Et on note que

Y2 n

n i=1

Xn j=1

XiXj =

n i=1

X X2 i +2 i<j

XiXj

En utilisant le fait que les accroissement sont indépendants et que E(|B(ti) - B(ti-1)|² - (ti - ti-1)) = 0 Alors

E(XiXj) = 0 pouri j

d'où

E(Yn^2) =

n i=1

E(X^2i )

On a

E(Xi) = E(B(ti) - B(ti-1)⁴ - 2(ti - ti-1)E(B(ti) - B(ti-1)² + (ti - ti-1)²

Puisque (B(ti) - B(ti-1)) suit la loi .JV(0, - ti-1)

Alors

E(X²_i ) = 3(ti - ti-1)² - 2(ti - ti-1)² + (ti - ti-1)² = 2(ti - ti-1)²

D'où

E(Yn^2) =

Xn i=1

E(X^2i )

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n

= 2 (ti - ti-1)²
i=1

< 2|'7|

Xn i=1

(ti - ti-1)

< 2(t-s)|7r|

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

Comme |7r| tend vers 0 alors lim n-++oo

E(Yn^2) = 0 alors Yn tend vers 0 dans L2

lim |ð|-+0

D'où

V (2)

ð = t - s dans L2

.

Corollaire 1.1. Si B(t)t>0 est un mouvement brownien réel standard alors, pour P-presque tout w, la trajectoire t ? B(t,w) est à variation infinie sur tout intervalle [s,t] avec s,t ? R⁺,s < t.

Démonstration. Pour tout w ? Q et toute subdivision 7r : s = t0 < t1 < t2 < ··· < t_n = t. On a

V (2) ð =

n-1E k=0

(B(w,tk+1) - B(w,tk))^2 ---? |ð|-+0

t - s

On pose alors

Q0 = w : t ? B(t,w) soit continue

Et pour s,t ? Q+ tels que s < t

Qs,t = w : V (2)

ð -? t-s

Donc si w ? Q0 n Qs,t ^et Vs,t(w) désigne la variation totale de t ? B(t,w) sur [s,t]

Alors on a l'inégalité

V (2) ð =	n-1E k=0	(B(w,tk+1) - B(w,tk))^2
= (sup k	|B(w,tk+1) - B(w,tk)|)		n-1E k=0	(B(w,tk+1) - B(w,tk))

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Comme t ? B(t,w) est une fonction uniformément continue,on a

lim (sup |B(w,tk+1) - B(w,tk)|) = 0 |ð|-+0k

V (2)

et si Vs,t(w) < +8 on doit avoir lim ð = 0 contredisant le fait que w ? Qs,t.

|ð|-+0

Alors la trajectoire t ? B(t,w) est à variation infinie sur [s,t].

Corollaire 1.2. Les trajectoires du mouvement brownien sont P-p.s nulle part dérivable.