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Marche aléatoire,mouvement brownien et applicationspar Taoufik SOUALI Université Hassan 2 - Master 2019 |
1.3.6 Probabilités de transition du mouvement brownien Noyaux de transitionDéfinition 1.3.6. Une collection {Ps,t;s,t ? R+ et s < t} d'application de E × BE dans [0,1] est appelé famille de noyaux de transition si :
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX 34
Définition 1.3.7. Un processus X = (Ù,F,(Ft)t>0,(X(t))t>0,P) de Markov à valeurs dans E et de famille de noyaux de transition {Ps,t;s,t E R+et s < t} si pour toute fonction f : E -+ R borélienne bornée et tout s < t dans R+, on a : E(f(X(t)/Ft)) = Pt_sf(X(s))P - p.s. (1.4) Les noyaux de transition Pt_s sont aussi appelés probabilités de transition. La loi de X(0) i.e la mesure de probabilité u sur BE défini par u(A) = P(X(0) E A) est appelé loi initiale du processus X. Lorsque Ps,t = P0,t_s ne dépend que de la différence t - s on dit que X est un processus de Markov homogène. Le semi-groupe du mouvement brownien Soit B = (Ù,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P) un mouvement brownien sur R. Théorème 1.11. B est un processus de Markov homogène sur R de loi initiale u = 80 et dont le semi groupe de la forme Z 1 R f(y)exp(-(x - y)2 Pt(f)(x) = v2ðt 2t )dy La propriété de Markov forte Théorème 1.12. Pour toute fonction f : R -+ R borélienne bornée, pour tout h ~ 0 et tout temps d'arrêt r presque sûrement fini de la filtration de B, on a E(f(B(r + h)/Fô)) = Phf(B(r)) P - p.s 35 Construction de l'intégrale stochastique Soit B = (B(t))t~0 un mouvement brownien standard continu sur un espace de probabilité filtré (Ù,F,(Ft)t>0,P) .On considère des processus Y dont les accroissements infinitésimaux (La notion de différentielle stochastique) dY (t) pour t E [a,b] sont de la forme dY (t) = X(t)dB(t) où dB(t) est l'accroissement infinitésimal du mouvement brownien B et X un processus adapté à la filtration (Ft)t>0 et suffisamment régulière. En sommant les accroissements pour bien définit l'intégrale suivant: Z b a X(s,w)dB(s,w) (2.1) La fonction s --+ B(s,w) n'est pas à variation bornée donc on ne peut pas considérer (4.1) comme une intégrale de Lebesgue-Stieltjes. On va commencer par construire l'intégrale stochastique sur un ensemble de processus dits élémentaires qui vont jouer le rôle des fonctions en escalier (resp. des fonctions simples) dans l'intégration des fonctions au sens de Riemann ( resp. au sens de Lebesgue). 2.1 Intégrale stochastique des processus élémentairesDéfinition 2.1.1. Un processus élémentaire est une fonction aléatoire de la forme X(t,w) = n-1X Xi(w)1[ti,ti+1[(t) i=0 Vt E [a,b], Vw E Ù. Avec a = t0 < t1 < t2 < ··· < tn = b est une subdivision de l'intervalle [a,b], et telle que pour tout j E {0,1,··· ,n - 1} Xi soitFti-mesurable. Notation :On notera alors I' (resp. I'n,n > 0) l'ensemble des processus élémentaires sur [a,b] (resp. le sous-ensemble des X E I' tels que les variables aléatoires Xi ont un moment d'ordre n,i.e E(|Xi|n) < +oc). T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE 36 Définition 2.1.2. On appelle intégrale stochastique (au sens d'Itô) du processus X E I' donné par (3.1) la variable aléatoire réelle Z b n-1X a X(t)dB(t) := Xi(Bti+1 - Bti). i=0 Proposition 10. (Propriétés de l'intégrale stochastique) 1) Linéarité : si X et Y E I' et ë,u E R, on a Z b Z b Z b a (ëX(t)+uY (t)dB(t) = ë a X(t)dB(t)+u a Y (t)dB(t). b
? !2? ! Z b Z b E ? a X(t)dB(t) ? = E a X2(t)dt . (2.2) Démonstration. 1) Soit X et Y de processus de subdivision commun a = t0 < t1 < t2 < ··· < tn = b de l'intervalle [a,b]. Pour tout t E [a,b], ù E Q et ë,u E R on a Z b a (ëX(t)+uY (t))dB(t) = ëX(t,w)+uY (t,w) = n-1X i=0 (ëXi(ù) + uYi(ù))1[ti,ti+1[(t)
Z b Z b = ë a XtdB(t)+u a YtdB(t). 2) Pour tout i E {0,1,··· ,n - 1}, les variables Bti+1 - Bti et Xi sont indépendantes et sont dans L1 donc leur produit et dans L1 comme Bti+1 - Bti est centrée, on a E(Xi(Bti+1 - Bti)) = E(Xi)E(Bti+1 - Bti)) = 0 T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE 37 Alors jb) E XtdB(t)= E? Xi(Bti+1 - Bti) ? i=0 = n-1X i=0 = n-1X i=0 ~ ~ E Xi(Bti+1 - Bti) E(Xi)E(Bti+1 - Bti) = 0. 3) Soit i < j. La variable aléatoire Xi(Bti+1 -Bti) est dans L2 comme produit de deux variables de L2 indépendantes. Comme Xj est dans L2,la variable aléatoire XiXj(Bti+1 - Bti) est dans L1. De plus étant Ft; mesurable, elle est indépendante de Bti+1 - Bti. Le produit de ces deux dernières variables est donc dans L1 et on a E(XiXj(Bti+1 - Bti)(Bt;+1 -Bt;)) = E(XiXj(Bti+1 - Bti))E(Bt;+1 - Bt;) b On en déduit que f XtdB(t) est dans L2 et que : E [ f b X(t)dB(t))2 = E (1XiXj(Bti+1 - Bti)(Bt;+1 - Bt;) ? i,j
= n-1X i=0 = n-1X i=0 E(Xi2)E((Bti+1 - Bti)2) E(Xi2)(ti+1 - ti) Z b a E(X2(t))dt = E fb2) (la troisième égalité découlant de l'indépendance de (Bti+1 - Bti)2 et de Ft; donc de X2i et la quatrième du fait que Bti+1 - Bti est de variance égale à ti+1 - ti. D'où le résultat. b Corollaire 2.1. L'application X 7-? I(X) := f X(t)dB(t) est une isométrie de l'es- a pace vectoriel 2 muni de la norme de L2([a,b] × 0,B[a,b] ? F,dt ? dP) dans l'espace L2(0,F,P). Démonstration. La linéarité de X 7-? I(X) est donné dans 1) de la proposition 10 et l'égalité kI(X)kL2(0,P) = kXkL2(0,dt®dP) est l'équation (3.2) T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE 38 Dans cette partie nous définissons les classes de processus qu'on peut intégrer par rapport au mouvement brownien. |
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