WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

Marche aléatoire,mouvement brownien et applications


par Taoufik SOUALI
Université Hassan 2 - Master 2019
  

précédent sommaire suivant

Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy

2.2 Les processus intégrants

Définition 2.2.1. Soit X = (X(t))tE[a,b] un processus défini sur l'espace filtré (Ù,F,Ftt>0,P).

1) On dit que X est dans la classe Ë2 si X est progressivement mesurable et si

Z b a

X2(t)dt < +8,P-p.s.

 

2) On dit que X est dans la classe M2 si X est progressivement mesurable et si

( )

Z b

E a X2(t)dt < +8

Z b

a X2(t)dt est la variable aléatoire qui pour tout w ? Ù est égale à l 'intégrale de Z b

Lebesgue a X2(t,w)dt.

Remarque 6.
· On a clairement 2 ? M2 ? Ë2

· Ë2(resp.M2,) est un espace vectoriel pour les opérations usuelles d'addition des processus (?X,Y ? Ë2,X + Y = ((X(t) + Y (t))tE[a,b]) et la multiplication d'un processus par un scalaire (?X ? R,Y ? À2,ÀX = (ÀX(t))t ? [a,b]).

· M2 c'est la structure la plus intéressante car c'est un espace de Hilbert, on constate que tout X ? M2 s'identifie à un élément de L2([a,b] × Ù,B[a,b] ? F,dt ? dP) puisque la condition (3.2) s'écrit

( )

Z b

kXkL2([a,b]xÙ,dt®dP) = E a X2(t)dt

Z= [a,b]xÙ(X2(t,w))dtdP < +8.

2.2.1 Aspects hilbertiens de l'intégrale stochastique

Proposition 11. M2 est un sous espace fermé de l'espace de Hilbert

L2([a,b] × Ù,B[a,b] ? F,dt ? dP)

Notation : Pour simplifier l'écriture, on notera kXkL2([a,b]xÙ,dt®dP) = kXkM2 norme du processus X de l'espace de Hilbert M2.

T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE

39

Théorème 2.1. L'espace 1-2 des processus élémentaires de carré intégrable est un sous-espace dense de l'espace de Hilbert M2.

(i.e.VX E M2,?(X)n E 1-2 : lim 11Xn - X11M2 = 0)

n--+oo

f

b

Corollaire 2.2. L'isométrie X i-+ I(X) := X(t)dB(t) de 1-2 dans L2(SZ,P) se pro-

longe de manière unique en une isométrie de M2 dans L2(SZ,P) Pour X E M2 on posera

b

I(X) = f X(t)dB(t)

a

et on l'appellera l'intégrale stochastique de X sur l'intervalle [a,b].

Remarque 7. :Pour déterminer pratiquement l'intégrale stochastique d'un processus X E M2, on doit donc trouver une suite de processus élémentaires Xn E 1-2 qui converge vers X au sens de la norme 11.11M2.On a alors :

b

n lim fa Xn(t)dB(t) = f bX(t)dB(t)

Toutes les propriétés de l'intégrale stochastique des processus élémentaires de la proposition 7 sont valables pour les processus de M2.

Z b

Proposition 12. L'application X i-? a X(t)dB(t) est linéaire de M2 dans L2(SZ,P) et

pour tout X E M2, on a

(fb)

= 0

?2

E (fbX(t)dB(t)) = E (abX2(t)dt)

Exemple 1. (Calcul d'une intégrale stochastique) Soit a > 0 On va calculer l'intégrale

a

stochastique f B(t)dB(t) où B est le mouvement brownien restreint à l'intervalle [0,a].

0

Soit B E M2 . En effetB est à trajectoires continues donc progressivement mesurable d'après le théorème (3.1) et :

Z a ~ Z a

E 0 B2(t)dt = 0 E(B2(t)dt

= f atdt

0

a

= 2 < +oc

donc l'intégrale I a un sens. Considérons alors la subdivision ðn de l'intervalle [0,a] constituée des points,

tk =

ka

2n , k = 0,1,2,···,n

T.Souali CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE STOCHASTIQUE

et les processus élémentaires Xn = (Xn(t))tE[0,a] définissent par :

Xn(t) =

2n-1

X

i=0

Bka 2n

1[ ka

2n ,(k+1)a

2n [(t)

La suite Xn converge vers B dans M2. En effet

? ?

Z a ~ n-1X Z (k+1)a

E 0 (Xn(t) - B(t))2dt = E ? 2n (Xn(t) - B(t))2dt

2n ?

ka

i=0

=

=

2n-1Z (k+1)a

X 2n E((B(t) -Bka )2)dt

ka 2n
i
=0 2n

2n-1Z (k+1)a

X 2n ka

(t - 2n )dt

ka

i=0 2n

1 a

2 2n+1 =

-? 0 (n ? +8)

=

2n-1

X

i=0

a2
2n+1

40

Calculons maintenant l'intégrale stochastique de Xn :

Z b 2n-1X

a Xn(t)dB(t) = Bka

2n (B(k+1)a

2n -Bka

2n )

i=0

=

1

2

2n-1 X i=0

-B2ka -(B(k+1)a - Bka)21[B2(k+1)a

2n 2n 2n 2n

~ 2n-1X 2

1 2n-1~ ~

X

= B2(k+1)a - 1

2n -B2ka B(k+1)a

2n - Bka

2 2n 2 2n

i=0 i=0

La première des sommes ci-dessus est télescopique et vaut Ba(car B0 = 0). La deuxième somme est égale à la variation quadratique Sðn de B sur l'intervalle [a,b], on sait que

lim
n-++oo

n = a (dans L2)

Résultat : Il en résulte que

Za

0 B(t)dB(t) = 12(B2a - a).

précédent sommaire suivant






Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy








"Il faudrait pour le bonheur des états que les philosophes fussent roi ou que les rois fussent philosophes"   Platon