3.5 Conclusion
L'inférence statistique bayésienne est
basée sur la distribution a posteriori des paramètres du
modèle statistique considéré qui permet de calculer les
caractéristiques a posteriori de ces paramètres. Nous avons
d'abord décrit les outils nécessaires à l'inférence
statistique bayésienne que sont les méthodes de Monte Carlo et
plus particulièrement les méthodes de Monte Carlo par
chaînes de Markov. Une des caractéristiques essentielles d'un
algorithme MCMC est qu'il ne demande pas de connaître la constante de
normalisation de la loi cible, ce qui est le cas des lois a posteriori pour
l'approche bayésienne (Parent et Bernier, 2007). Une méthode MCMC
générique est celle de Metropolis-Hastings. La convergence de
l'algorithme de Metropolis-Hastings est théoriquement garantie pour un
large éventail de lois de proposition. L'emploi de l'algorithme de
Metropolis-Hastings permet de traiter différents problèmes parmi
les plus complexes (Parent et Bernier, 2007). Cependant, la rapidité
d'atteinte de l'état limite stationnaire de la chaîne de Markov
ainsi produite doit être considérée avec attention car elle
dépend du choix de la loi de proposition. Un second groupe de
méthodes MCMC est celui de l'algorithme d'échantillonnage de
Gibbs. L'algorithme d'échantillonnage de Gibbs permet de simplifier le
problème de l'inférence statistique bayésienne en
remplaçant la simulation d'une loi jointe d'un vecteur aléatoire
à n composantes par une suite de n tirages aléatoires à
une dimension (Parent et Bernier, 2007). La mise en oeuvre, en pratique, de
l'algorithme de Gibbs exige cependant de pouvoir écrire les lois
conditionnelles complètes a posteriori des paramètres. Nous avons
proposé un algorithme de Gibbs pour l'estimation de l'apparentement sans
prise en compte de l'information spatiale. Lorsqu'on considère le mode
d'IBD comme une variable latente et qu'on choisit une loi a priori de Dirichlet
pour le vecteur des probabilités d'IBD, nous avons montré que la
loi conditionnelle complète a posteriori du vecteur des
probabilités d'IBD est aussi une loi de Dirichlet et que la loi
conditionnelle complète a posteriori du mode d'IBD est une loi
multinomiale. Comme nous pouvons simuler selon ces deux lois conditionnelles
complètes a posteriori, nous pouvons utiliser un algorithme de Gibbs
pour l'estimation de l'apparentement et ceci correspond au troisième
algorithme proposé. Enfin deux algorithmes de Métropolis-Hastings
within Gibbs pour estimer d'une part l'apparentement en tenant compte de
l'information spatiale et d'autre part l'héritabilité a
été décrit.
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