Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

2.4.2 ACP parametrique de densites de Gumbel unidimensionnel

Les données ternaires définies dans le para_graphe 2.2.1 sont maintenant des tableaux (nt×1), oil a cha_que instant t, t ? {1,...,L}, on dispose d'un échantillon de taille nt d'un vecteur aléatoire Xt unidimensionnel de densité de Gumbel ft de paramètre de position ut et de paramètre d'échelle ót.

· -- x

Soit xt = -- nt E 1 xt, . ^t
· ? R, les estimations par la méthode

_z z et s t = nt z En_. t _i t (x,z t)2 x t,

des moments de E[Xt] et V [Xt] respectivement, alors:

= .^V_ð⁶vst et ftt = xt + çàót sont les estimations par la méthode des moments de ót et ut respectivement, avec ç = 0.5772 (constante d'Euler). Les fonctions f(nt)

t définies par:

x-àut e ^àót e

--e

x7jit ót

(2.50)

?x ? R, f_t^(nt) (x) = ¹

x-Fit x-11s

Wt,s = < J t ,.1 s à1

ót ó_s IR

_f(nt) _f(n_s) _e(^xàó:^t +xàós s)e--(e ^àót +e àós

⁾dx.

àót sont appelées les estimations paramétri_ques des ft, t ? {1,...,L}. Elle consituent alors un nua_ge de L densités dans L²(R). L'ACP de ces L densités conduit a dia_gonaliser la matrice de terme _général:

(2.51)

Exemple

Pour t ? {1,...,30}, on fait une ACP normée de densités estimées paramétri_quement dans le cas des échantillons simulés des densités de Gumbel, de paramètre de position ut = t + ç .VÐ6vt et de paramètre d'échelle ót = ^\(__/⁶vt.

On représente alors sur la fi_gure 8 les densités estimées sur le premier plan principal de l'ACP ainsi celle des densités théori_ques et cela pour voir comment se comporte la _qualité de l'estimation lors_qu'on au_gmente la taille d'échantillon.

24%	ACP normée théorique
		40%

23% ACP normée estimée, n = 10 23% ACP normée estimée, n = 40

89

¹

40% 36%

Fi_g.8: Premier plan principal de l'ACP normée de densités de Gumbel.

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30 . 20 -03