Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

1.2.2 ACP totale d'un operateur compact

Proposition 1.2.3 Tout operateur compact U admet une anal_yse en composantes principales totale [13].

Dans ce cas la, l'ACP totale de U revient a faire l'anal_yse spectrale de l'opérateur V = U o U^*. Si ({ëi}i?I, {ui}i?I) est une ACP "pas a pas" d'un opérateur compact U, nous avons alors les deux propriétés suivantes.

1. L'ordre de multiplicité de cha_que valeur propre non nulle ëi est fini.

2. Posons I^* = {i ? I; ëi =6 0}, alors la suite de terme _généralfi = 1 kU*ui,H U^*ui, constitue
un s_ystème de vecteurs propres orthonormés de W.

Remar_que: La quantité 1

kU*uikH U^*ui existe, car MU^*uil²_H = ëikuik² H0 =6 0

On a alors la proposition suivante:

Proposition 1.2.4 (Dauxois et Pousse, 1976)

Si ({ëi}i?I, {ui}i?I), est une ACP "pas a pas" de l'operateur compact U, le couple ({ëi}i?I^*, { U*ui

kU*uikH }i?I^*), est une ACP "pas a pas" de U^*, dite associee a la precedente.

On appellera {ëi}i?I^* la suite des valeurs principales, {fi}i?I^* la suite des composantes principales normalisées et {ui}i?I^* la suite des facteurs principaux de l'opérateur U.e

La proposition précédente permet de rechercher l'ACP de U en faisant soit l'anal_yse spectrale de V, soit celle de W. L'opérateur V peut s'écrire comme suit [14]:

V =E i?I^*

ëi ui ? ui (1.2)

pour (x,y) ? H², y ? x est l'opérateur défini par: y ? x(f) =< y,f >H x.