Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

2.3 ACP de densites estimees par la methode du noyau

2.3.1 Cas general

Soit (xt,1,...,xt,nt), t ? {1,...,L}, nt réalisations de la variable aléatoire Xt dans R^p de densité inconnue ft, et soit fh_t l'estimation par la méthode du no_yau de la fonction ft en tout point x.

Pour t ? {1,...,L}, les fh_t constituent un nua_ge de L densités dans L²(R^p). L'ACP sur ce nua_ge conduit a dia_gonaliser la matrice de terme _général donné par:

1 ^àWt,s = ntns	1	nt i=1	ns j=1	< K(x - xt,i ) , K(x - xs,j ) > (2.25) ht hs
	h^pt h^ps

K un no_yau positif et ht, t ?E {1,...,L} la fenêtre de lissa_ge associée a la densité ft

Cette ACP fournit l'estimation par no_yau de l'ACP théori_que des densités ft, t ?E {1,...,L}.

Si fh_t est l'estimation par la méthode du no_yau _gaussien de la densité ft, alors l'ACP estimée correspondant conduit a dia_gonaliser la matrice de terme _générall donnépar::

^àWt,s = 1 ntns	1			1		nt i=1i	^nsj=1	xxt 2-+xhs2s)))22		(2.26)
	v2ð		Vh2t? h2 s +						. ·

2.3.2 Exemples

ACP de L densités _gaussiennes unidimensionnelles

Si (xt,1,...,xt,n),, t ? {1,...,L} n réalisations de la variable aléatoire Xt de loi N(t,vt)) et de densité ft, on fait une ACP de densités sur les estimations par le no_yau _gaussien des densités ft en associant a cha_que densité la fenêtre de lissa_ge optimale au sens de l'AMISE é_galee dans ce cas a 1.06vtn^-15,, t ?E {1,..,L} et cela pour deux tailles échantillons différentes_;; n=10 et n=40.

Les _graphi_ques de la fi_gure 5, représentant les densités sur le premier plan principal de l'ACP théori_que et des ACP estimées, montrent _que pour une taille d'échantillon petite (n=10) on parvient a retrouver la forme du nua_ge théori_que. Cela devient très clair lors_qu'on au_gmente la taille d'échantillon (n=40).

26% ACP normée théori_que

11

42%

09

07

05

25% ACP normée estimée, n = 10 26%

03	ACP normée estimée, n = 40

. 9 .

09 07 05

09 07 05

44% 44%

Fi_g.5: Premier plan principal de l'ACP nonparamétri_que dans le cas de la famille de densités _gaussienne de lois N(t,'t)

0. 1 .

. 20

(ht = 1.06'tn- 0. 1 5)

ACP de L densité de Gumbel

Si _{(xt,1,...,xt,n),} t ? {1,...,L} m réalisations de la variable aléatoire Xt de densité de Gumbel ft, de paramétre de position ut = t + ç _v6 vt et de paramétre d'échelle ót = _v6 vt (ç est la

Ð Ð

constante d'Euler). On fait une ACP des densités estimées par le no_yau _gaussien en associant à cha_que densité la fenêtre de lissa_ge optimale au sens de l'AMISE et cela pour deux tailles échantillons différentes_; n=1O et n=4O.

Dans la fi_gure 6, les _graphi_ques représentant les densités sur le premier plan principal de l'ACP normée théori_que et des ACP estimées, montrent _qu'à partir d'une taille d'échantillon petite (n=1O), on arrive à retrouver la forme du nua_ge théori_que. Cette forme se rapproche encore plus de la forme réelle en au_gmentant la taille d'échantillon (n=4O).

24% ACP normée théori_que

40%

ACP normée estimée, n = 10

0.1 ACP normée estimée, n = 40

23% 24%

41% 40%