Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

2.3.3 Approche de Kneip et Utikal

Soit (xt,1,...,xt,nt), nt réalisations de la variable aléatoire Xt de densité inconnue ft et dans L²(R) muni du produit scalaire suivant [201:

< ft,fs

>= J RI ft(x)f_s(x)w(x)dx, (2.27)

w dési_gne une fonction de poids, positive, continue et uniformément bornée sur un intervalle D de R.

Les densités ft, t ? {1,...,L}, forment un nua_ge dans L²(R) dont l'ACP centrée conduit a dia_gonaliser la matrice M de terme _général donné par la formule suivante.

Mt,s =< ft - fu,fs - f_u > . (2.28)

avec: f_u = 1

E^Lr=1 fr .

L

Pour estimer efficacement les éléments de la matrice M, Kneip and Utikal ont procédé en deux étapes:

1^ereetape:

En se basant sur l'estimation par no_yau de ft, t ? {1,...,L}, définie par:

fh,t(x) = 1 nth

nt i=1

K (x - hxt,i (2.29)

oil

_Xnt _Z ux - xt,i

K2 w(x)dx. (2.32)

h

i=1

1

A(t) = n2th2

l'estimation naturelle Mt,s de Mt,s est donnée par:

avec:			Mt,s =	M(^1) t,s- M(2) t,s +M(3) t,s , (2.30)
M(^1) t,s =	? ???? ????	nt ns 1 h2 Z-d vi=nt 1 L-a^vj =1 J h s K(x -x h t,i) K(^x-xs,j) w(x)dx, t s 1 nt E^nt f Kix- hxt,i, K(^x-Xt,j) w(x)dx + A(t), t = s n^2th^2 Ei=1 ) h			(2.31)

_{P P}

M(²)

t,s = 1 PL l=1( M(1)

t,l + M(1)

l,s ) et M(3)

t,s = 1 r M(1)

l,r .

L L2 l

2eme etape:

Dans cette etape Kneip et Utikal proposent de prendre comme estimation de M, la matrice M de terme _general:

Mt,s = fM(1) t,sMa(2) M(3)-- t,s .(2.33)

avec:

fM(^1) t,s =

? ? ?

Mt,s ) t s (2.34) M(^1) t,t -- A(t) sinon

_X

fM(2) t,s1

= L

l=1

(fM(¹)

t,l + fM(1)

l,s ). (2.35)

L

X fM(^3) t,s = L2 1 l

X r

fM(^1) l,r . (2.36)

L'ACP centree estimee de l'ACP centree theori_que, par l'approche de Kneip et Utikal, est obtenue en dia_gonalisant la matrice de terme _general donne par la relation (2.33).

Remar_que

Contrairement a M, M peut avoir des valeurs propres ne_gatives, en prati_que ces valeurs peuvent etre interpreter par 0.

2.3.4 Application de l'approche d'estimation de Kneip and Utikal à une ACP estimee non centree et non normee

Soit (xt,1,...,xt,nt), t ? {1,...,L}, nt réalisations de la variable aléatoire Xt dans R de densité inconnue ft dans L²(R) muni du produit scalaire:

< ft,fs >= Jft(x)f_s(x)dx. (2.37)

Les densités ft, t ? {1,...,L}, forment un nua_ge dans L²(R) dont l'ACP non centrée et non normée conduit a dia_gonaliser la matrice W de terme _général:

Wt,s =< ft,fs > . (2.38)

Les estimations par la méthode du no_yau:

fh,t(x) = 1 ntht

i=nt i=1

K(x - xt,i) (2.39) ht

forment un nua_ge de L densités dans L²(R) dont l'ACP non centrée et non normée conduit a dia_gonaliser la matrice de terme _général:

1 Wts = ntns	1	i=nt i=1	j=ns j=1	< K(x - xt,i ),K(x - xs,j ) > . (2.40) ht hs
	hths

Cette ACP fournit l'estimation de l'ACP théori_que précédente. Soit ^fW la matrice de terme _général:

Wt,s =

? ? ?

1 'nt r K ( ht x--xt,i n^2t h? dx si t = s J ^àWt,s sinon

(2.41)

Considérons maintenant le cas oil nt = n et ht = h, ?t ? {1, ... ,L} et posons:

^àëk l'estimation de ëk, la k-ieme valeur propre de la matrice W, obtenue en dia_gonalisant la matrice des produits scalaires ^àW.

Si K est un no_yau choisi parmi les 4 no_yaux précédents, on a alors la propriété suivante:

^àëk = ^eëk + á. (2.42)

avec:

1 1

á = n² h²

^K2(

n I

E x -_h xt,i )dx. (2.43)

i=1

1

á = 2vÐ

Dans le cas du no_yau _gaussien:

1

(2.44)

nh

Dans le cas du no_yau trian_gulaire:

2

á = _v3

1 nh. (2.45)

Dans le cas du no_yau d'Epanechnikov:

1 nh. (2.46)

á = 3v5

25

Dans le cas du no_yau rectan_gulaire:

1

á = 2

1 nh. (2.47)

Remar_que

On peut aboutir a la relation (2.42), _grâce a la propriété matricielle suivante: 1. Si ë est valeur propre de M alors:

ë + á est valeur propre de la matrice M + áI (I est la matrice identité).

Exemple: ACP estimée non centrée et non normée de densités bimodales.

Soient (xt,1,...,xt,n), t ? {1,...,30} n réalisations de la variable aléatoire Xt de lois ²¹ N(t,vt)+ ₂¹N(t+ 15, v0.1t) et de densité ft. Pour illustrer la méthode d'estimation précédente dans le cas oil les densités sont estimées en utilisant le no_yau _gaussien et h = n^-1, nous avons procédé a une ACP non centrée et non normée de 3 manieres différentes:

1. En dia_gonalisant la matrice des produit scalaire des densités théori_ques.

2. En dia_gonalisant la matrice des produits scalaires des densités estimées, àW.

3. En dia_gonalisant la matrice ^fW.

On peut voir dans le tablau 1, _que la meilleure estimation des valeurs propres ëk de W, sont les valeurs propres ^eëk de ^fW.

k	ëk	^àëk	^eëk	^àëk - ^eëk
1	0.710	0.995	0.713	0.282
2	0.376	0.639	0.357	0.282
3	0.306	0.622	0.340	0.282
4	0.242	0.554	0.272	0.282
5	0.208	0.528	0.246	0.282
6	0.181	0.472	0.190	0.282
7	0.160	0.458	0.176	0.282
8	0.140	0.435	0.153	0.282
9	0.118	0.397	0.115	0.282
10	0.097	0.387	0.105	0.282

Tab.1: Les valeurs propres ëk, ^àëk et ^eëk, obtenue en dia_gonalisant les matrices W, àW, ^fW respectivement (h = n-¹, n = 30).

La valeur de a dans ce tabeau, est 0.282 v 1

2H