3.2.3. Le signal à la sortie du détecteur
quadratique (x)
3.2.3.1. Les signaux composites
Avec les trois types de signaux supposés en haut, on
peut avoir à l'entrée du détecteur quadratique quatre (4)
cas possible de signaux composites [13]:
> Bruit seulement.
> Bruit + FRUIT.
> Bruit + signal utile.
> Bruit + signal utile + FRUIT.
Par la suite, on aura à la sortie du détecteur
quadratique, selon le cas, les
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distributions exponentielles suivantes [15]:
> Bruit seulement :
> Bruit + FRUIT :
> Bruit + signal utile :
> Bruit + signal utile + FRUIT :
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????1(????)
????2(????)
????3(????)
????4(????)
|
=
=
=
=
|
-????
|
|
|
1
2????????2
|
|
2???????? 2 ????
-????
|
|
1
2(????????2+????????2)
|
|
2(????????2+????????2) ????
-????
|
|
1
2(????????2+????????2)
|
|
2(????????2+????????2) ????
-????
|
|
1
2(???????? 2+????????
|
2+???????? 2)
|
|
2(????????2+????????2+????????2) ????
|
En normalisant par rapport au bruit:
- 2????????2 = ????.
- FNR = r = ????????2/????????2 rapport
FRUIT a bruit.
- SNR = s = ????????2/????????2 rapport
signal a bruit.
|
Alors :
> > > >
|
????1(????)=
????2(????) =
????3(????) =
????4(????) =
|
-????
1
|
-????
|
|
????????
????
1
|
|
???? ????(1+????)
-????
|
|
????(1+????)
1
|
|
???? ????(1+????)
-????
|
|
????(1+????)
1
|
|
????(1+????+????)
|
|
????(1+????+????) ????
|
|
?
?
?
?
?
|
????????(????|????0)
|
=
|
(1
|
-
|
????0)
|
1 -???? 1 -????
|
|
-????
|
|
???? ????(1+????)
|
|
???? ???? + ????0 ????(1 + ????) ????
1 -???? 1
|
|
????(1+????) +
|
???? ????(1+????+????)
|
|
????(1 + ????) ???? ????0
????(1 + ????
|
+ ????)
|
????????(????|????1)
=
(1
-
????0)
... (3.1)
3.2.3.2. Critère de détection
Deux hypothèses (H1, H0) permettent de contrôler
le bon déroulement de la prise de décision ; présence ou
non présence d'une cible. Sous l'hypothèse H1 la cible est
présente et elle est détectée .Cette hypothèse va
nous permettre de calculer la probabilité de détection, par
contre, Sous l'hypothèse H0 la cible n'est pas présente mais il y
a détection. Cette hypothèse va nous permettre de calculer la
probabilité de fausse alarme.
Dans le cas où il n ya pas présence de signal
utile (hypothèse H0), la fonction de distribution du signal a la sortie
du détecteur quadratique, s'écrit en
fonction de ????1(????) ???????? ???????? ????2(????) ?
????????(????|????0) = ???? ????????????????????????????
[????1(????), ????2(????)].
Dans le cas de la présence du signal utile
(hypothèse H1), la fonction de distribution du signal à la sortie
du détecteur quadratique, s'écrit en fonction de
????3(????) ???????? ???????? ????4(????) ?
????????(????|????1) = ???? ????????????????????????????
[????3(????), ????4(????)].
???????? (???? |????0) = ????????????????????????????????
[????1(????), ????2(????)]
On aura le couple ~
????????(????|????1) = ????
???????????????????????????? [????3(????), ????4(????)]
En appliquant la loi de la probabilité totale [11, 12,
13], on obtient le couple définissant la fonction de distribution du
signal reçu à la sortie du détecteur quadratique pour les
hypothèses H0 et H1 :
| 
