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Contribution à  la caractérisation mécanique des critères de qualités du départ de la course vitesse sur 100 m

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par Khalil Ben Mansour
Université de Poitiers - Doctorat 2008
  

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3-Analyse dynamique : modele dynamique inverse

La modélisation du corps de l'athlète par un système poly-articulé de solides rigides constitue l'une des étapes préliminaires nécessaire à l'étude mécanique des forces intersegmentaires et moments articulaires. En effet, afin de pouvoir appliquer les lois de la mécanique des solides rigides pour chacun des n corps rigides qui constituent la chaîne il importe de considérer :

§ que la répartition des masses de chaque segment reste constante à chaque instant. Cela

revient à supposer que la forme des muscles est invariante lors de la contraction ;

§ que les frottements et glissements entre les surfaces articulaires sont négligés.

L'adoption de ces hypothèses simplificatrices introduit des erreurs dans le calcul de dynamique inverse. Ainsi, il est recommandé de ne pas prendre en compte plus de trois segments afin de limiter la multiplication des incertitudes de mesures d'un segment à l'autre. De ce fait, pour l'analyse du mouvement du rameur [Coll 03], de la marche [Fros 98], de soulevé de charge [Moua 01], ou de pédalage [Bouc 05] la plupart des calculs s'arrêtent au niveau de la hanche.

Dans le cas de l'analyse du départ de course vitesse, les forces calculées au niveau de la cinquième vertèbre lombaire obtenues à partir de deux stratégies (descendante et ascendante) sont comparées pour valider le modèle.

Dans la même logique que l'analyse cinématique (§-VIII2.1), l'écriture des équations de la dynamique adoptée correspond au formalisme introduit par Legnani et al. (1996). Il s'agit, rappelons-le, d'une formulation très synthétique des théorèmes de Newton-Euler qui emploie les matrices de roto-translation pour la modélisation dynamique d'un système polyarticulé.

3.1-Procedure d'estimation de la dynamique articulaire

La mise en équation de la dynamique articulaire nécessite un bilan des torseurs des actions mécaniques qui s'exercent sur chaque segment de la chaîne articulée. La figure 92

présente un exemple d'une chaîne composée de trois solides rigides (Sol, S1 et S2) en liaisons

ponctuelles (O1 et O2).

- Si : Solide i

-

Y0

X0

S2

Ö( Sol /S1 )

O1

O2

Ö( S2 / S1 )

Ö (pesanteur/ S1 )

Sol

Z0

g0

S1

G1 : centre de gravité de S1

- O1 : point d'application de R1

- O2 : point d'application de R2

- Ö ( Sol / S 1 ) : TAM exercée par le Sol sur S1

- Ö ( S 2 / S 1 )

: TAM exercée par S2 sur S1

- Ö(

pesanteur/

S1 ) : TAM de la pesanteur sur S1

Figure 92 Représentation des torseurs des actions mécaniques (TAM) qui s'exercent sur le solide S1

La détermination du bilan des torseurs des actions mécaniques qui s'exercent sur le solide S1 (figure 17) permet d'écrire, à chaque instant, l'équation de l'équilibre dynamique de ce segment dans g0 en appliquant le principe fondamental de la dynamique (§-III.3) :

N

Ö( SoilS 1 Yet0 + Ö ( S 2 / S 1 Va0 ( pesanteur/ S1 ) / gt0 = AS1 / Éq.VIII. 12RD

Ö( Sol /S1 ) / ~ 0 : torseur des actions mécaniques exercées par le Sol sur S1 dans 0 en O1

: torseur des actions mécaniques exercées par S2 sur S1 dans gt0 en O1

Ö( S2 /S1) /a0

Ö( pesanteur/S1 ) / 910 : torseur d'action de la pesanteur exercée sur S1 dans R.0 en O1 AS1 / 90 : torseur dynamique associé au mouvement de S1 dans R.0 en O1

Ayant déjà défini le torseur Ö(Sol/S1)/~0 par mesure dynamométrique, il devient possible d'estimer le torseur Ö ( S 2 / S 1 ) / ~ 0 comme suit :

Ö( S 2 / S 1 Vet0 = A S1 /91.0 - Ö( SollS 1 )/ a0 - Ö( pesanteur/ S1 )/9t0Éq.VIII. 13 Finalement, afin d'estimer le torseur des actions mécaniques exercées par un solide

Si+1 sur Si dans g0, il importe de définir deux constantes :

§ l'opérateur du champ de pesanteur Hi/ 0 nécessaire à la définition du torseur d'action de la pesanteur Ö (

Pesanteur / i )/910 .

§ la pseudo matrice d'inertie J iei d'un segment Si nécessaire au calcul du torseur dynamique Ai/ ~ 0 et du torseur d'action de la pesanteur Ö(

Pesanteur/ i ) / e0 .

Definition de l'opérateur du champ de pesanteur

Par analogie avec la matrice Hi/ ~ 0 , l'opérateur du champ de pesanteur possède la forme matricielle suivante :

~~

H

g

g/=
0

0 0 0 0

0

~~

g= 0

-9,81

~

[ 0]

Éq.VIII. 14

~~

avec g accélération gravitationnelle

Definition de la pseudo-matrice d'inertie

Définie en Gi suite à l'application des équations de régression proposées par Zatsiorsky (1985), la matrice d'inertie de Si est d'abord transférée à l'origine Oi de ~i en appliquant le théorème de Huygens :

I( Oi )91.i = I( Gi )91.i + I91. Éq.VIII. 15

I ~i représente la matrice d'inertie en Oi du point Gi affecté de la masse mi de Si.

L'expression de I ( O i ) . est la suivante :

I ( Oi )a = [-F B -D i

[

O i G i = Yi

Zi ai

A -F -E

-E -D C

X

i

~~~~~~

Éq.VIII. 16

et

9Li

En adoptant cette notation (Éq.VIII.), la pseudo-matrice d'inertie défini en Oi de ~i

s'écrit :

S 2- A F E m i Xi

F S 2- B D m i Yi

E D S 2- C m i Zi

Éq.VIII. 17

9Li

avec S = A + B + C

m i X i m i Y i m i Z i mi 9Li

Architecture de la chaine cinematique lors d'un depart de course vitesse

Lors d'un départ de course vitesse, l'étude de l'architecture de la chaîne cinématique permet de distinguer trois types de configurations (figure 93).

Bipédie Unipodale

Quadrupédie

CC fermée
(Membres inférieurs et supérieurs)

CC ouverte membres supérieurs
CC fermée membres inférieurs

CC ouverte
(Membres inférieurs et supérieurs)

Figure 93 Chaînes cinématiques (CC) lors d'un départ de course vitesse

La disposition d'un dynamomètre au niveau de chaque appui (C1 : pied avant, C2 : pied arrière, C3 : main droite, C4 : main gauche) (figure 76) estime le torseur des actions mécaniques externes qui s'y exercent.

Les quatre torseurs exprimant la résultante et le moment des actions mécaniques réduit à l'origine du repère R.0 sont écrit sous forme matricielle 4x4. L'expression d'un torseur

décrivant les actions mécaniques d'un segment Si sur un capteur Ci dans R.0 est de la forme

suivante :

0 - M M F

z y x

Ö S i C i ~

( )

/ / 0

0 - M F

z x y

M M 0 F

z z z

M

=

-

-

Éq.VIII. 18

F - F -F

x y z

0

9t0

Mx Fx

~~~ ~~

avec M( O , PSvCi)/ gt0 = I My

Mz

et ( ) 0

F S i C i ~

/ /

910

= Fy

Fz

910

Il importe de signaler que l'introduction de ces torseurs dans l'écriture de l'équation de l'équilibre dynamique doit tenir compte de la définition de la configuration de la chaîne cinématique et la détermination des instants de décollage de chaque segment (§-IV.1.2). Le bilan des torseurs des actions mécaniques qui s'exercent sur l'athlète lors des différentes configurations figure dans le tableau 3.

-1

( )

T 0 i

Tableau 10 Bilan des torseurs décrivant les actions mécaniques exercée par l'athlète
sur son milieu extérieure lors de différentes configurations

Configurations

Pied Avant [Pv]

Pied arrière [Pr]

Main droite [md]

Main gauche [Mg]

Quadrupédie

Ö( Pv /C1 ) / g0

Ö ( Pr /C2 ) /a0

Ö( Md/C3 ) /R0

Ö ( Mg/C4)/91.0

Bipédie

Ö( Pv /C1) / 90

Ö( Pr /C2 ) /g0

Torseur nul

Torseur nul

Unipodale

Ö( Pv /C1 ) / g0

Torseur nul

Torseur nul

Torseur nul

Au cours de cette étude la masse des mains est négligée, les torseurs mesurés au niveau de ces appuis sont donc directement rapportés au centre fonctionnel du poignet.

Structure de l'algorithme de calcul

Pour t = temps Pour i = segment

Calcul des matrices vitesses du segment Si dans g0

W = T 0 ·

i

i / ~ 0

Calcul des matrices accélérations du segment Si dans gt0


·

-1

Hi

·T= i

/e0

( T0i )

J = T · J ·

i

i ~ 0 i ~

0 i

( T0i )

Calcul de la pseudo-matrice d'inertie dans g0

À chaque itération (i) l'algorithme fournit la matrice Ö (i+1/ i ) /ai+1 décrivant le torseur

des efforts inter-segmentaires entre les segments Si+1 et Si. Ce torseur est par convention symétrique et il est exprimé dans le repère du segment Si+1. Son centre de réduction est par hypothèse confondu avec le centre articulaire Oi+1 de gi+1. Par analogie avec le torseur des actions mécaniques externes, le torseur des actions mécaniques internes de Si+1 sur Si s'écrit :

Ö ( )

i+1 i

/

/

~ i+1

[ 0 - N M X

i i i

N 0 - L Y

i i i

- M i L i 0 Zi

- X i - Y i -Z i 0

~ i+1

Éq.VIII. 19

L i

~ = M

i+1 i

N i

X i

et /

F Y

i+1 i = i

~ i+1 Z i ~ i+1

avec (

M O , i+1 i

/ ) /

i

Le choix du centre de réduction au centre fonctionnel de l'articulation trouve origine dans une hypothèse classique : la distance entre la droite d'action de la force de contact et le centre articulaire est négligée. Les forces ligamentaires sont également négligées au regard des forces musculaires [Coll 03]. Ainsi, le moment calculé représente, au signe près, les actions musculaires croisant l'articulation.

Validation du modele dynamique inverse

Afin d'éliminer l'effet des méthodes de traitement et de calculs et permettre la comparaison des deux procédures de solidification, les matrices issues de la PSR et de la PSG sont injectées dans le même algorithme de calcul. La validation du modèle dynamique inverse est effectué en calculant le torseur des actions inter segmentaires au niveau de la cinquième vertèbre lombaire en adoptant deux stratégies de dynamique inverse :

descendante : Ö ( ) 0

/ ~ = A ~ + Pelv/ Cuisse / - pesanteur / Pelvis /

0 Ö ( Ö

Abdomen/ Pelvis Pelvis / ) ~ ( ) ~

0 0

~ascendante : Ö ( ~ = A ~ + Abdomen/Thorax / - pesanteur / Abdomen /

Ö Ö

Pelvis / Abdomen ) Abdomen/

/ 0 ( ) ~ ( ) ~

0 0 0

En appliquant le principe de réciprocité (§-III.3) aux segments abdomen et pelvis (figure 94), nous vérifions que Ö( Abdomen/Pelvis ) /g0 et Ö( Pelvis/Abdomen ) /a0 sont équivalents au signe prêt.

Force exercees par ('abdomen sur le pelvis exprimees dans ao [N]

Figure 94 Forces exercées par l'abdomen sur le pelvis suivant les trois dimensions de l'espace to.
Données issues de la PSR et PSG en adoptant deux stratégies : ascendante (Asc) et descendante (Desc)

La figure 94 montre, jusqu'à l'instant ta, une bonne concordance entre les données issues des deux stratégies de dynamique inverse (ascendante et descendante). Cela permet, d'une part, de valider notre processus de dynamique inverse basé sur le formalisme matriciel de Legnani et al. (1996) et, nous autorise, d'autre part, à étudier l'effet des deux procédures de solidification sur l'estimation de la dynamique articulaire.

À partir de l'instant ta, la concordance entre les deux stratégies de dynamique inverse est perturbée. Cette perturbation est due à :

§ l'amplification des incertitudes provoquée par la double dérivation des données

cinématographiques lors du calcul des accélérations ;

§ l'accumulation de ces incertitudes suite à l'application de la procédure itérative de

dynamique inverse.

Il importe de souligner que ces perturbations n'entravent pas l'étude comparative des torseurs d'actions inter segmentaires issus de la PSR et de la PSG. Ayant subie exactement la même procédure de calcul de dynamique inverse, une éventuelle différence dans les résultats serait fortement due à l'application de la PSR versus la PSG.

Elements permettant l&interpretation des resultats

Suite au calcul itératif, les torseurs des actions mécaniques inter segmentaires entre les

segments Si+1 et Si exprimées dans Si+1 sont quantifiés. Tenant compte de l'arborescence de la

chaîne cinématique (§-VII.2.figure 78) les vecteurs forces et moments inter segmentaires au niveau d'une articulation donnée caractérisent l'action d'un segment amont sur le segment aval pour les membres inférieurs et supérieurs et d'un segment aval sur un segment amont pour le tronc et la tête. Ces éléments sont décrits dans le tableau 11 ci-dessous.

Tableau 11 Définition des actions mécaniques inter segmentaires au niveau des articulations

Articulations

Si+1 / Si

Articulations

Si+1 / Si

Cheville

Jambe / Pied

C7

Thorax / Tête

Genou

Cuisse / Jambe

T12

Abdomen / Thorax

Hanche

Pelvis / Cuisse

L5

Pelvis / Abdomen

Coude

Bras / Av. bras

Épaule

Thorax / Bras

L'interprétation des forces et des moments doit tenir compte de l'orientation des repères segmentaires qui possèdent des bases différentes selon le coté gauche ou droit. L'orientation de ces repères est détaillée dans le précédent chapitre (§-VII.2.figure 78).

Dans le plan sagittal, les articulations du tronc (C7, T12 et L5) ainsi que celles du côté droit du corps : cheville, hanche, coude et épaule, présentent une valeur positive du moment lors de la flexion49. Quant au genou droit, c'est une valeur négative du moment qui traduit sa flexion (Voir orientation des axes §-VII.2.figure 78). Mis à part le genou gauche qui présente un moment positif lors de sa flexion, les articulations du coté gauche du corps (cheville, hanche, coude et épaule) présentent un moment négatif lors de leur flexion.

Dans le plan frontal, une valeur positive du moment, au niveau d'une articulation du coté droit du corps traduit une adduction d'un segment droit. Contrairement elle traduit une abduction dans le cas d'une articulation du coté gauche. Concernant les articulations du tronc, un moment positif signifie une inclinaison latérale sur le coté droit.

Dans le plan horizontal, une valeur positive du moment articulaire traduit invariablement une rotation médiale (interne) du segment.

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9Impact, le film from Onalukusu Luambo on Vimeo.