Efficacité de la production agricole et pauvreté au Cameroun.

1.1.2 Estimation

Lorsque nous disposons de n observations (yi, _{xi1,...,xip),} i = 1,...,n (ici i =1,...,7) , qui sont des réalisations des variables aléatoires (Yi, Xi1,... ,Xi_p) , l'équation de régression s'écrit :

yi=ao+a1xi1+...+apxip+åi i = 1,...,n

La problématique reste la même que pour la régression simple :

· estimer les paramètres (ai) iå{o,...,p} exploitant les observations ;

· évaluer la précision de ces estimateurs ;

· mesurer le pouvoir explicatif du modèle ;

· évaluer l'influence des variables dans le modèle : - globalement (les p variables en bloc) et,

- individuellement (chaque variable) ;

· évaluer la qualité du modèle lors de la prédiction (intervalle de prédiction) ;

· détecter les observations qui peuvent influencer exagérément les résultats (points atypiques).

1.1.3 Notation matricielle

Nous pouvons adopter une écriture condensée qui rend la lecture et la manipulation de l'ensemble plus facile. Les équations suivantes :

y1 = ao+a1x1,1+...+apx1,p+å1

y2 = ao+a1x2,1+...+apx1,p+ån

...

y_n = ao+a1xn,1+...+apxn,p+ån

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Peuvent être résumées avec la notation matricielle

Mémoire de Master II soutenu par : NGASSEU NOUPIE Elie

å1 + ... ån

										ao ao . . . ap
	1 ... 1
=			. . . . . . . . .	x1,p . . . Xn,p

Soit de manière compacte : y = Xa+å Avec

· y est de dimension (n,1)

· X est de dimension (n,p+1)

· a est de dimension (p+1,1)

· e est de dimension (n,1)

· la première colonne sert à indiquer que nous procédons à une régression avec constante.

1.1.4 Hypothèses

Comme en régression simple, les hypothèses permettent de déterminer : les propriétés des estimateurs (biais, convergence) ; et leurs lois de distributions (pour les estimations par intervalle et les tests d'hypothèses).

Il existe principalement deux catégories d'hypothèses :

Hypothèses stochastiques

· H1 : Les Xj sont déterminées sans erreurs, j=1,..., p ;

· H2 : E(åi) = 0 Le modèle est bien spécifié en moyenne

H3 : V(ei) = ó² å i Homoscédasticité des erreurs (variance constante)

H4 : cov (ei,ej) = 0 åi ? j Pas d'autocorrélation des erreurs

H5 : cov (Xi, åj) = 0 å i ? j Les erreurs sont linéairement indépendantes des variables exogènes.

H6 : å : ~ N n (0, ó²I_n) Les erreurs suivent une loi normale multidimensionnelle (H6 implique les hypothèses H2, H3 et H4 la réciproque étant fausse car les 3 hypothèses réunies n'impliquent pas que å soit un vecteur gaussien). Ce qui est globalement le cas dans notre étude sur l'incidence de la PGF des facteurs sur la pauvreté.

Hypothèses structurelles

· H7 : absence de colinéarité entre les variables explicatives, i.e. X'X est régulière, det (X'X) ? 0 et (X'X)^-1 existe (remarque : c'est équivalent à rang (X) = rang (X'X) = p+1) ;

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Mémoire de Master II soutenu par : NGASSEU NOUPIE Elie

·

· H8 : tend vers une matrice finie non singulière Q lorsque n + 8 ;

H9 : n >p+1 Le nombre d'observations est supérieur au nombre de variables + 1 (la constante). S'il y avait égalité, le nombre d'équations serait égal au nombre d'inconnues aj, la droite de régression passerait par tous les points, nous serions face à un problème d'interpolation linéaire (voir Interpolation numérique). Ce qui est globalement le cas dans cet étude.

Ecriture matricielle de l'hypothèse H6

H2 : E(å) = E

0

.

.

.

0

å1

... å_n

=

Sous l'hypothèse d'homoscedasticité et d'absence d'autocorrélation, la matrice de variance-covariance du vecteur des erreurs peut s'écrire :

1 0 . . . 0

0 . 1 . . . .

. . 0 . . 0 . .. . . . 1

=

62 0 . . . 0

0 . 62 . . . . . .

. . 0 . . 0 . . . .. . . 62

· H3 et H4 : cov (å) = ó²I_n = ó2

. . .

Régresseurs stochastiques

Dans certains cas, l'hypothèse (H1) est intenable : les régresseurs X sont supposés

aléatoires. Mais dans ce cas, on suppose que X est aléatoire mais est indépendant de l'aléa å.

On remplace alors l'hypothèse (H2) par une hypothèse sur l'espérance conditionnelle :

H2 : E(åi | X) = 0

De même, il faudrait changer en conséquence les hypothèses (H3), (H4) et aussi (H5).