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Une introduction aux systèmes de lois de conservation

( Télécharger le fichier original )
par Jean-Michel KENFACK
Université Yaoundé I Cameroun - Doctorant en Mathématiques 2006
  

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INTRODUCTION AUX SYSTEMES

DE LOIS DE CONSERVATION

Mémoire présenté et soutenu le 09 Decembre 2005 en

vue de l'obtention du Diplôme d'Etudes Approfondies

(D.E.A.)

Option: Analyse

Spécialité : E.D.P

Par:

Jean-Michel KENFACK
Maître ès sciences Mathématiques

Devant le Jury composé de :

Président : F.WAMON (M C)
Rapporteur : M.DOSSA (M C)
Examinateur: G.MBIANDA (C C)

Table des matières

Abstract-Résumé ii

Introduction 1

1 PRÉLIMINAIRES 2

1.1 Rappels 2
1.2 La méthode des caractéristiques pour l'E.D.P du premier ordre ut (t, x)+

f(u(t,x))x =0. 2

1.3 Solutions faibles ou généralisées 6

1.4 Ondes mobiles- Systèmes hyperboliques. 9

2 PROBLÈME DE RIEMANN 14

2.1 Ondes Simples 14

2.2 Ondes de raréfaction 16

2.3 Ondes de choc - discontinuités de contact 17

2.3.1 L'ensemble de choc 17

2.3.2 Discontinuités de contact - ondes de choc 20

2.4 Solution locale du problème de Riemann 22

2.5 Système de deux lois de conservation. 25

2.5.1 Invariants de Riemann. 25

2.5.2 Non existence de solutions régulières. 27

3 CRITÈRE D'ENTROPIE 32

3.1 Viscosité évanescente-ondes mobiles 32

3.1.1 Première condition d'admissibilité 32

3.2 Paire entropie-flux 36

3.2.1 Deuxième condition d'admissibilité 36

3.3 Unicité de la solution d'une loi de conservation scalaire. 38

3.3.1 Quelques propriétés de la solution entropique. 44

3.4 Solution explicite d'une loi de conservation scalaire 45

3.4.1 La formule de Hopf et Lax. 45

Conclusion 50

Bibliographie 51

ABsTRAcT

We are going to find the solutions of the first order non-linear Cauchy problem of conservation laws ut (t, x) + f (u (t, x)) = 0 which possess good physical properties. We will show that, this problem does not possess a global smooth solution in time; this result comes from the search of this solution by the characteristic method. Under asumption about initial conditions, we give the value of the optimal time for the existence and uniqueness for the smooth solutions. Through the Riemann problem, we give the nature of the global solutions under shape of various kinds of waves. By the entropy inequality, we establish one result of existence and uniqueness of weak entropy solution of the Cauchy problem of conservation laws.

KEYS WORDS : Characteristic method; optimal time; kinds of waves; entropy inequality; weak entropy solution.

REsuMÉ

Nous allons chercher des solutions du problème de Cauchy pour l'équation non- linéaire du premier ordre de lois de conservation ut (t, x) + f (u (t, x)) = 0 qui possèdent des bonnes propriétés physiques. Nous montrerons que ce problème ne possède pas en général de solutions régulières globales en temps; ce résultat provient de la résolution dudit problème par la méthode des caractéristiques. Sous certaines hypothèses sur les données initiales, nous donnons un temps optimal d'existence de solutions régulières du problème. A travers le problème de Riemann, nous donnerons la nature de ces solutions générales sous forme d'ondes de diverses sortes. Grâce à l'inégalité d'entropie, nous établissons un résultat d'existence et d'unicité de la solution faible discontinue de ce problème de Cauchy appelée solution faible entropique .

MOTS CLES : Méthode des caractéristiques; temps optimal; ondes de diverses sortes; inégalité d'entropie; solution faible entropique.

SYSTÈMES DE LOIS DE CONSERVATION.

INTRODUCTION

Les systèmes d'équations hyperboliques sont des systèmes d'équations aux dérivées partielles (E.D.P) qui modélisent un vaste champs de phénomènes physiques. Parmi ces équations, on peut citer notamment, l'équation des ondes, les équations de Maxwell en électro-magnétisme, les équations d' Euler de la dynamique des gaz. En général, on note t la variable temporelle et x la variable spatiale, nous aimerions étudier le comportement de la fonction vectorielle u = u (t, x) = (u1 (t, x) , u2 (t, x) , .., un (t, x)), (t; x) E [0, oc) x Rm où les composantes sont les densités des diffèrentes quantités qui interviennent dans le phénomène physique à étudier. Soit donné une région bornée assez régulière de Rm; notons que

contenu dans à l'instant t dx désigne l'élément de volume et

Ù udx représente la quantité de matières ou le nombre de particules

?Ù uds représente la

quantité de matière traversant le bord de (8 ) à l'instant t ds est l'élément de
surface induit sur 8 par dx. Le principe de lois de conservation stipule que : "L'augmentation ou la dimunition de matière (ou de particules) u dans le domaine est régulée par une fonction flux f : Rn ? Mn×m qui contrôle la traversée de u à travers 8 ,

où Mn×m est l'ensemble des (n x in) - matrices réelles.

Plus précisement, on a pour tout t

Z Z

(1) d u (t, x) dx = - f (u (t, x)) íds

dt Ù ?Ù

í est la normale à (8 ) extérieure à . Utilisant le théorème de divergence pour

Z Z Z

ut (t, x) dx = - f (u (t, x)) ídS = - divx (f (u (t, x))) dx.

Ù ?Ù Ù

réécrire (1), on obtient :

(2)

Ceci étant vrai pour toute région arbitraire c Rm . On en déduit le problème général de systèmes de lois de conservation avec valeur initiale :

½ ut (t, x) + divx (f (u (t, x))) = 0 dans (0, oc) x Rm

(3) u=g sur {t=0}x Rm

g : Rm ? Rn ; g (x) = (g1 (x) , g2 (x) , .., gn (x)), fonction donnée décrivant la distribution initiale. Pour des raisons de commodité et de simplicité, notre étude de (3) se limtera au cas in = 1, on aura alors à faire au problème :

(4)

½ ut (t , x ) + f (u (t , x))x = 0 dans (0 , oc) x R

u = g sur {t = 0} x R

f : Rn -* Rn , g : R -* Rn sont données et u: [0, oc) x R -* Rn est l'inconnue. Pour le cas spécial n = 1, on parlera de loi de conservation scalaire.

Comme exemples de lois de conservation, nous pouvons citer le problème du trafic routier ç')t + (ç')v) x = 0, où ç') = ç') (t, x)) est la densité du trafic à la position x et à l'instant t; v = v (t, x, ç') (t, x)) la vitesse du trafic et m = ç')v le débit du trafic encore appelé flux du trafic.

Les équations d'Euler d'écoulement de gaz compréssible en dimension 1 suivantes :

 

ñt + (ñv)x = 0 (conservation de la masse)

(ñv)t + (ñv2 +p)x = 0 ( conservation du moment)
(ñE)t + (ñEv + pv)x = 0 (conservation de l' énergie)

Dans la première partie, nous allons tour à tour chercher pour notre E.D.P du premier ordre ut (t, x) + f (u (t, x))x = 0 :

* Des solutions classiques par la méthode des caractéristiques pour le cas spécial n = 1, solutions qui malheureusement, seront seulement locales en temps.

* Des solutions faibles ou généralisées qui sont globales en temps, mais qui auront l'inconvénient de ne pas être uniques.

* Enfin, nous allons introduire la condition d'hyperbolicité de notre système d'E.D.P qui est très importante pour la résolution de ce dernier.

Dans la deuxième partie, nous allons étudier la nature des solutions faibles à travers le problème de Riemann qui se caractérise par le fait que la condtion initiale soit constante par morceaux . Nous chercherons tour à tour les solutions de ce problème sous la forme d'onde de choc, de raréfaction, de discontinuité de contact(qui apparaissent pour des temps plus grands que T* donné par la méthode des caractéristiques). Par la suite, nous donnerons une condition d'existence locale de solutions du problème de Riemann.

Enfin nous aborderons le cas de deux lois de conservation (n = 2), ici nous définirons les Invariants de Riemann qui seront fondamentaux dans la simplification du système et sa résolution. Enfin, nous allons donner un critère de non existence de solutions régulières du problème de Riemann.

Dans la troisième partie, nous allons donner un critère appelé critère d'entropie où inégalité d'énergie qui nous permettra de montrer l'existence et l'unicité des solutions faibles généralisées appelées solutions faibles entropiques. En se ramenant de nouveau au cas scalaire (n = 1), nous allons énoncer un résultat d'existence et d'unicité de la solution entropique.

Enfin, à travers la formule de Hopf-Lax, nous allons donner une solution explicite d'une loi de conservation scalaire (cas du problème de Riemann).

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La Quadrature du Net