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INTRODUCTION AUX SYSTEMES
DE LOIS DE CONSERVATION
Mémoire présenté et soutenu le 09 Decembre
2005 en
vue de l'obtention du Diplôme d'Etudes Approfondies
(D.E.A.)
Option: Analyse
Spécialité : E.D.P
Par:
Jean-Michel KENFACK
Maître ès sciences
Mathématiques
Devant le Jury composé de :
Président : F.WAMON (M C)
Rapporteur :
M.DOSSA (M C)
Examinateur: G.MBIANDA (C C)
Table des matières
Abstract-Résumé ii
Introduction 1
1 PRÉLIMINAIRES 2
1.1 Rappels 2
1.2 La méthode des
caractéristiques pour l'E.D.P du premier ordre ut
(t, x)+
f(u(t,x))x
=0. 2
1.3 Solutions faibles ou
généralisées 6
1.4 Ondes mobiles- Systèmes
hyperboliques. 9
2 PROBLÈME DE RIEMANN 14
2.1 Ondes Simples 14
2.2 Ondes de raréfaction 16
2.3 Ondes de choc - discontinuités de contact 17
2.3.1 L'ensemble de choc 17
2.3.2 Discontinuités de contact - ondes de choc 20
2.4 Solution locale du problème de Riemann 22
2.5 Système de deux lois de conservation.
25
2.5.1 Invariants de Riemann. 25
2.5.2 Non existence de solutions
régulières. 27
3 CRITÈRE D'ENTROPIE 32
3.1 Viscosité évanescente-ondes mobiles 32
3.1.1 Première condition d'admissibilité 32
3.2 Paire entropie-flux 36
3.2.1 Deuxième condition d'admissibilité 36
3.3 Unicité de la solution d'une loi de conservation
scalaire. 38
3.3.1 Quelques propriétés de la solution
entropique. 44
3.4 Solution explicite d'une loi de conservation scalaire 45
3.4.1 La formule de Hopf et Lax. 45
Conclusion 50
Bibliographie 51
ABsTRAcT
We are going to find the solutions of
the first order non-linear Cauchy problem of conservation laws
ut (t, x) + f (u (t, x)) = 0 which
possess good physical properties. We will show that, this
problem does not possess a global smooth solution in
time; this result comes from the search of this solution
by the characteristic method. Under asumption about initial
conditions, we give the value of the optimal time for the existence
and uniqueness for the smooth solutions. Through the
Riemann problem, we give the nature of the global
solutions under shape of various kinds of waves. By the
entropy inequality, we establish one result of
existence and uniqueness of weak entropy solution of the
Cauchy problem of conservation laws.
KEYS WORDS : Characteristic method; optimal
time; kinds of waves; entropy
inequality; weak entropy solution.
REsuMÉ
Nous allons chercher des solutions du problème de
Cauchy pour l'équation non- linéaire du
premier ordre de lois de conservation ut (t, x) + f
(u (t, x)) = 0 qui possèdent des
bonnes propriétés physiques. Nous
montrerons que ce problème ne possède pas en
général de solutions
régulières globales en temps; ce
résultat provient de la résolution dudit problème par la
méthode des caractéristiques. Sous certaines
hypothèses sur les données initiales, nous donnons un
temps optimal d'existence de solutions régulières du
problème. A travers le problème de Riemann, nous donnerons la
nature de ces solutions générales sous forme d'ondes
de diverses sortes. Grâce à l'inégalité
d'entropie, nous établissons un résultat d'existence et
d'unicité de la solution faible discontinue de ce problème de
Cauchy appelée solution faible entropique .
MOTS CLES : Méthode des
caractéristiques; temps optimal; ondes
de diverses sortes; inégalité
d'entropie; solution faible entropique.
SYSTÈMES DE LOIS DE CONSERVATION.
INTRODUCTION
Les systèmes d'équations
hyperboliques sont des systèmes
d'équations aux dérivées partielles (E.D.P)
qui modélisent un vaste champs de phénomènes
physiques. Parmi ces équations, on peut
citer notamment, l'équation des ondes, les
équations de Maxwell en
électro-magnétisme, les équations d'
Euler de la dynamique des gaz. En
général, on note t la variable temporelle et
x la variable spatiale, nous aimerions étudier le comportement
de la fonction vectorielle u = u (t, x) =
(u1 (t, x) , u2 (t,
x) , .., un (t, x)), (t; x)
E [0, oc) x Rm où les composantes
sont les densités des diffèrentes quantités
qui interviennent dans le phénomène
physique à étudier. Soit donné une
région bornée assez régulière
de Rm; notons que
contenu dans à l'instant t où dx
désigne l'élément de volume et
Ù udx représente la
quantité de matières ou le nombre de particules
?Ù uds représente la
quantité de matière traversant le bord
de (8 ) à l'instant t où ds est
l'élément de
surface induit sur 8 par dx. Le
principe de lois de conservation stipule que :
"L'augmentation ou la dimunition de matière (ou de
particules) u dans le domaine est régulée par
une fonction flux f : Rn ?
Mn×m qui contrôle la
traversée de u à travers 8 ,
où Mn×m est l'ensemble des (n
x in) - matrices réelles.
Plus précisement, on a pour tout t
Z Z
(1) d u (t, x) dx = - f
(u (t, x)) íds
dt Ù ?Ù
où í est la normale à (8
) extérieure à . Utilisant le théorème de
divergence pour
Z Z Z
ut (t, x) dx = - f (u
(t, x)) ídS = - divx (f
(u (t, x))) dx.
Ù ?Ù Ù
réécrire (1), on obtient :
(2)
Ceci étant vrai pour toute région
arbitraire c Rm . On en déduit le
problème général de systèmes
de lois de conservation avec valeur initiale :
½ ut (t, x) + divx
(f (u (t, x))) = 0 dans (0, oc) x
Rm
(3) u=g sur {t=0}x
Rm
où g : Rm ?
Rn ; g (x) = (g1
(x) , g2 (x) , .., gn
(x)), fonction donnée décrivant la distribution
initiale. Pour des raisons de commodité et de simplicité, notre
étude de (3) se limtera au cas in = 1, on aura alors à
faire au problème :
(4)
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½ ut (t , x ) + f (u
(t , x))x = 0 dans (0 , oc) x
R
u = g sur {t = 0} x R
|
où f : Rn -*
Rn , g : R -* Rn
sont données et u: [0, oc) x R -*
Rn est l'inconnue. Pour le cas spécial n
= 1, on parlera de loi de conservation scalaire.
Comme exemples de lois de conservation, nous pouvons citer le
problème du trafic routier ç')t + (ç')v)
x = 0, où ç') = ç') (t,
x)) est la densité du trafic à la position x et
à l'instant t; v = v (t, x,
ç') (t, x)) la vitesse du trafic et m =
ç')v le débit du trafic encore appelé flux du
trafic.
Les équations d'Euler d'écoulement de
gaz compréssible en dimension 1 suivantes :
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ñt + (ñv)x =
0 (conservation de la masse)
(ñv)t +
(ñv2 +p)x = 0 (
conservation du moment)
(ñE)t +
(ñEv + pv)x = 0 (conservation de
l' énergie)
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Dans la première partie, nous allons tour à tour
chercher pour notre E.D.P du premier ordre ut (t, x) + f
(u (t, x))x = 0 :
* Des solutions classiques par la méthode des
caractéristiques pour le cas spécial n = 1,
solutions qui malheureusement, seront seulement locales en temps.
* Des solutions faibles ou
généralisées qui sont
globales en temps, mais qui auront l'inconvénient
de ne pas être uniques.
* Enfin, nous allons introduire la condition
d'hyperbolicité de notre système d'E.D.P
qui est très importante pour la résolution de ce
dernier.
Dans la deuxième partie, nous allons étudier la
nature des solutions faibles à travers le problème de Riemann
qui se caractérise par le fait que la condtion
initiale soit constante par morceaux . Nous chercherons tour à tour les
solutions de ce problème sous la forme d'onde de choc, de
raréfaction, de discontinuité de contact(qui
apparaissent pour des temps plus grands que T*
donné par la méthode des caractéristiques). Par
la suite, nous donnerons une condition d'existence locale de solutions du
problème de Riemann.
Enfin nous aborderons le cas de deux lois de conservation
(n = 2), ici nous définirons les Invariants de Riemann
qui seront fondamentaux dans la simplification du
système et sa résolution. Enfin, nous allons donner un
critère de non existence de solutions
régulières du problème de Riemann.
Dans la troisième partie, nous allons donner un
critère appelé critère d'entropie où
inégalité d'énergie qui
nous permettra de montrer l'existence et l'unicité des solutions faibles
généralisées appelées solutions faibles
entropiques. En se ramenant de nouveau au cas scalaire (n =
1), nous allons énoncer un résultat d'existence et
d'unicité de la solution entropique.
Enfin, à travers la formule de Hopf-Lax, nous allons
donner une solution explicite d'une loi de conservation scalaire (cas du
problème de Riemann).
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