Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

I/I - X(X'X)-1X')Y1J/J

bg1 = (II - 1I1^'

bE' 1 = 1^'_IY(IJ - 1J1^' _J/J - Z(Z^'Z)-¹Z^')I

b = (X^'X)-¹X^'YZ(Z^'Z)-¹

I/I - X(X'X)-1X')YZ(Z'Z)-1

bg3 = (II - 1I1^'

bE' 3= (X^'X)^-1X^'Y(IJ - Z(Z^'Z)^-1Z^')

Cependant, cette facon d'ecrire le mod`ele et les calculs qui en decoulent sont lies a` la structure des donnees. En effet, dans ce que nous avons presente, les observations sont supposees àetre dans une matrice a` I lignes et J colonnes, ce qui prevoit cette matrice de donnees compl`ete. Cela s'interpr`ete dans le cas d'un essai multienvironnement par exemple, par le fait que chaque genotype doit àetre present dans chaque environnement. Or la realiteest souvent autre.

Pour les essais o`u toutes les varietes ne sont pas dans tous les environnements, cette methode, qui est ici generalisee avec p covariables associees au facteur genotype et q covariables liees au facteur environnement, peut se presenter sous forme indicielle.

Yij = m (E p

x^iMp + gi) + (E q

zj áq 3 E ) + E p,q

x^p. z^qjã+ e · · (2.3) z pq z3

o`u gi represente la part des effets moyens non expliquee par les covariables X et Ej celle non expliquee par les covariables Z ; x<sup>p</sup><sub>i</sub> etant la valeur de la p<sup>e</sup> covariable associee au genotype i et z<sup>q</sup><sub>j</sub> la valeur de la q<sup>e</sup> covariable associee a` l'environnement j.

Les vecteurs ã =

r1^1 lfp 713^.

, á =

(

á1 ... áq

? ? ? ?

et â =

( â1 ) . âp

sont estimes par regression du vecteur Y des observations, de longueur IJ,
respectivement sur le produit semi-tensoriel ligne (Dieng, 2003) des deux

matrices des covariables, sur la matrice de covariable attach'ee au facteur environnement et sur la matrice de covariable attach'ee au facteur g'enotype. Nous reprenons ci-après la d'efinition du produit semi-tensoriel ligne.

D'efinition 1 Produit semi-tensoriel ligne Si A est une matrice rectangulaire (m,r),

Si B est une matrice rectangulaire (m,s),

A ? B est dit produit semi-tensoriel ligne de A par B. C'est une matrice rectangulaire (m,rs) qui se présente ainsi

a11 · B[1,] ? a21 · B[2,] ? ? ? ? ? ... am1 · B[m,]

a12 · B[1,] a22 · B[2,] ... am2 · B[m,]

· · · · · ·

· · ·

a1r · B[1,] ? a2r · B[2,] ... ????? amr · B[m,]

o`u B[m,] est la m<sup>e</sup> ligne de B. Autrement dit, A ? B est la juxtaposition de tous les produits termes a` termes possibles entre une colonne de A et une colonne de B.

Nous nous servons du produit semi-tensoriel ligne pour obtenir la matrice d'incidence pour l'interaction a` partir des matrices d'incidence des effets simples.

Avec cette pr'esentation indicielle, la r'egression factorielle est effectu'ee en deux 'etapes : d'abord la r'egression des observations sur le produit semitensoriel ligne des deux matrices de covariables et celle sur les deux matrices des covariables auxquelles est ajout'ee par la suite l'estimation des r'esidus de ces r'egressions.

Nous pr'esentons ci-dessous un modèle, plus g'en'eral, o`u tous les paramètres sont estimables en une seule 'etape.

Y = m1IJ + X ·a1 +X·n2 + Z ·b2 +L·Ib2 + X ? Z · (ab)11

- Xn1 est la régression sur les covariables génotypes

+x? Z · (ab)21 + X ?7L· (ab)12 +X?7L· (ab)22 + e

- Y est le vecteur des observations, de longueur IJ

- m1IJ est la moyenne générale des observations

->Xn2 est l'écart des effets génotype a` la régression sur les covariables génotypes,

-7Lb2 est l'écart des effets environnements a` la régression sur les covariables - Zb2 est la régression sur les covariables environnements

Xétant la matrice d'incidence des génotypes

-x?Z(ab)21 est l'effet des covariables environnements modulépar les génotypes - X ? Z(ab)11 est l'effet des covariables environnements modulépar les cova-

environnements,7Létant la matrice d'incidence des environnements

riables génotypes

non expliquépar les covariables génotypes

- X ?L(nb)12 est l'effet des covariables génotypes modulépar les environnements non expliquépar les covariables environnements

-x?7L(ab)22 est l'interaction G×E expliquée ni par les covariables génotypes, ni par les covariables environnements.

Ainsi, les paramètresa1,a2,b2,b2, (ab)11, (ab)21, (ab)12, (rb)22, sont estimés par simple régression linéaire sur les matrices et vecteurs adéquats.

Exemple d'écriture pour un essai multilocal : Pour un essai multilocal de 3 génotypes effectuéen 2 lieux différents o`u nous avons 2 covariables associées au facteur lieu et 1 covariable associée au facteur variété, les vecteurs et matrices se présentent comme suit :

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?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Y11

Y21

Y31

Y12

Y22

Y32

Y=

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

X=

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Z=

X=

X111 X211 X311 X121 X221 X321

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

XeZ=

X111Z111 X111Z112 X211Z121 X211Z122 X311Z211 X311Z212 X121Z221 X121Z222 X221Z311 X221Z312 X321Z321 X321Z322

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

I

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Z=

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Z111 Z112 Z121 Z122 Z211 Z212 Z221 Z222 Z311 Z312 Z321 Z322

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? XeZ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?	Z111 0 0 Z221 0 0		Z112 0 0 Z222 0 0		0 Z121 0 0 Z311 0
0 0 Z212 X e 0 0 Z322 1		? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?		X111 X211 X311 0 0 0		0 ? 0 0 X121 X221 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X321

0 0

Z122 0

0 Z211

0 0

Z312 0

0 Z321

0	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	0	1	0 I
0	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	0	1	0

1 0 0 1 0 0

x? =

?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Jusqu'àmaintenant les covariables sont supposées continues. Toutefois, cette méthode est encore valable dans le cas o`u elles sont de type qualitatif. Il suffit de la même manière que l'on passe de la régression a` l'analyse de variance, de remplacer chaque colonne de la matrice de covariables par des colonnes indicatrices des niveaux de la colonne de covariable qualitative considérée (Denis, 1980).

Dans le cas o`u les covariables sont trop nombreuses, différentes méthodes de sélection sont présentées dans (Denis, 1980).