2.4 La r'egression factorielle 2.4.1 Le modèle
C'est le modèle additif auquel trois séries de
termes de régression sont ajoutés (Denis, 1980). Ces
régresseurs sont des covariables décrivant les génotypes
(ex : poids des graines) et les environnements (ex : pluviométrie en
aoàut) et aussi l'interaction par les produits deux a` deux de ces
régresseurs.
Un modèle similaire de celui de régression
factorielle a étéutilisépar Freeman et Perkins (1971) qui
n'avaient considéréqu'une covariable associée au facteur
milieu non calculée sur les données. Wood (1976), lui, a
utiliséune combinaison linéaire de covariables
élémentaires liées au milieu.
|
Effet
|
d.l
|
|
Somme de carrés
|
|
Carrémoyen
|
Statistique F
|
Niveau de signification
|
|
Génotype
|
5
|
|
23 2765,0
|
|
46 553,0
|
2,42
|
0,0485
|
|
Environnement
|
10
|
8
|
100 921,7
|
3
|
810 092,2
|
42,1
|
0,0000
|
|
G×E
|
50
|
|
962 311,6
|
|
19 246,2
|
|
|
|
AMMI axe 1
|
14
|
|
523 953,0
|
|
37 425,2
|
3,1
|
0,003
|
|
AMMI axe 2
|
12
|
|
333 578,0
|
|
27 798,1
|
6,4
|
0,000
|
|
AMMI axe 3
|
10
|
|
67 186,2
|
|
6 718,62
|
2,5
|
0,057
|
|
AMMI axe 4
|
8
|
|
33 172,6
|
|
4 146,6
|
5,6
|
0,026
|
|
Résidus G×E
|
6
|
|
4 422,5
|
|
|
|
|
|
Total
|
65
|
|
929 600
|
|
|
|
|
TAB. 2.4 - Tableau d'analyse des données de
l'essai multilocal avec la méthode AMMI.
Nous allons pr'esenter le modèle de r'egression
factorielle de deux manières diff'erentes. Dans la pr'esentation
matricielle, la plus simple, le but est d'expliquer la matrice des observations
Y de dimension I ×J a` partir de deux
matrices de covariables associ'ees aux deux facteurs 'etudi'es. Dans la
pr'esentation indicielle, la plus g'en'erale, les observations Y
sont dans un vecteur de longueur IJ.
Nous pouvons disposer en g'en'eral d'un tableau X
de p covariables associ'ees
aux g'enotypes et d'un
tableau Z de q covariables associ'ees aux
environne-
|
ments. Les matrices X et Z
s''ecrivent dans ce cas :
x1 1 x2 1
· · · xp 1 z1 1
? x1 2 x2 2
· · · xp 2 ? ? z1
2
X= Z=
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
... ... ... ????? ...
x1I x2 I
··· xp I z1 J
|
z21
z2 2
...
z2 J
|
···
· · ·
· · ·
|
zq 1
zq 2 ?
... ?????
zq J
|
|
La matrice X est de dimension I
× p et Z de dimension J ×
q. Par souci de simplicit'e dans la pr'esentation, nous ne
consid'erons alors que le cas d'une unique observation par g'enotype pour un
environnement donn'e, qui peut être une moyenne ou une moyenne ajust'ee
sur le dispositif de cet environnement. Les matrices X et
Z sont consid'er'ees par la suite centr'ees.
Alors le modèle de r'egression factorielle peut se
pr'esenter sous forme matricielle, plus commode a` manipuler
2Z') +
XZ'
+g3Z' + X['
Y = 1Im1' J
+ (g1 + Xg2)1'
J + 1I(I' 1
+uEi' 3 + e (2.2)
- Y de dimension I x J est la
variable r'eponse
- m est la moyenne g'en'erale
- (g1 +
Xg2)1'
efficients des covariables 1 a` p dans la
r'egression de l'effet g'enotype et (g1 1
+uEI' J est l'effet principal du g'enotype
o`u (g2 est le vecteur des coles I r'esidus
de cette r'egression.
- 1I(i'
2Z') est l'effet principal de
l'environnement d'ecompos'e de la même
facon
- XZ' est la partie de l'interaction
expliqu'ee par le produit des deux covariables X et
Z
-g3Z' est la partie de l'interaction
expliqu'ee par la covariable Z, une fois tenu compte de
l'explication fournie par la covariable X
- Xi'3 est la partie de
l'interaction expliqu'ee par la covariable X, une fois tenu
compte de l'explication fournie par la covariable Z
Ce modèle 'etant lin'eaire, les proc'edures
d'estimation usuelles sont employ'ees, ce qui donne les r'esultats suivants
pour l'estimation des paramètres inconnus (voir Annexe A) :
mb =
1'IY1J/IJ
bg2 =
(X'X)-1X'Y1J/J
bE' 2 =
1'IYZ(Z'Z)-1/I
| 
