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Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

( Télécharger le fichier original )
par Imen Ben Khalifa
Ecole Supérieure de la Statistique et de l'Analyse de l'Information - Ingénieur en statistique et analyse de l'information 2008
  

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Ecole Superieure de la Statistique et de l'Analyse de l'Information

Projet de Fin d'Etude

EsTIMATION NON-PARAMETRIQUE PAR NOYAUX AssOCIIs
ET DONNEEs DE PANEL EN MARKETING

Pres??te ??r?:
I??? BEN KHALIFA

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Celestin C. KOKONENDJI, HDR
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E-mail: celestin.kokonendji@univ-pau.fr

Dhafer MALOUCHE, MA
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E-mail: dhafer.malouche@essai.rnu.tn

Résumé

Dans ce rapport, nous nous interessons a la notion destimation non-parametrique d'une densite (fonction de masse) inconnue sur ? ? R par la methode des noyaux associes. Pour ce faire,nous presentons dabord une definition(unifiee)dun noyau associeà une loi de probabilite quelconque (continue ou discrete) Nous etudions de maniere detaillee quelques exemples des noyaux continus symetriques(????? normal, Epanechnikov, etc.), continus asymetriques (????? beta, gamma, gaussien-inverse et gaussien-inversereciproque), discret categoriel (Aitchison & Aitken 1976) et discret de denombrement (????? triangulaires symetriques, standards asymetriques dordre 1 tels que Poisson, binomial et binomial negatif). Ensuite,nous donnonsla definition delestimateur noyau associe. Nous montrons la convergence ponctuelle de cet estimateur Nous verifions si cet estimateur est bien de masse totale egale lunite Dautres proprietes (globales) sont etudiees, telles que biais, variance et erreur quadratique moyenne integree. Nous proposons une extension dans le cas multivarie (? ? Rd) pour des fonctions de densite (fonction de masse) et de regression. Enfin nous illustrons une partie de la methode sur des donnees de panel en marketing, lesquelles donnees sont de comptage et parsemees.

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Abstract

In this report, we are interested in the notion of nonparametric estimation of an unknown density (mass function) in ? ? R by using associated-kernel method First we present an unified definition of a kernelassociated to a probabilitylawthatmight be eithercontinuousordiscrete.Then,weprovideathoroughtreatmentofsomesymmetric andcontinuouskernels(?????Gaussian,Epanechnikov,etc.) asymmetricandcontinuous (????? beta, gamma, inverse gaussian, reciprocal inverse gaussian) ; discrete categorical (Aitchison & Aitken,1976) and discrete count data (????? symmetric triangular,or some knownasymmetricdistributionssuchasPoisson,binomialandnegativebinomial)Furthermore, we define the associated kernel estimators and investigate some of their finite andasymptoticproperties.Morepreciselyweverifyiftheproposedestimatorsarebona fidedensitiesormassfunctions(i.efunctionswhicharesimultaneouslynonnegativeand integrate/sum up to one). Their pointwise consistency bias, variance and mean integrated squared error are tackled as well Moreover we extend these estimators to the multivariate setting ? ? Rd for both density/mass and regression functionsFinallythe practical usefulness of this approach is illustrated by a case study based on some sparse count data obtained from a marketing panel research survey

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Remerciements

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Table des matières

Présentation générale du stage 13

1 Introduction a l'estimation non-paramétrique 15

2 Noyau continu symétrique 17

2.1 Cas univarié .................. . . .. . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Propriétés élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Biais ponctuel . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Variance ponctuelle .... . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . 21

2.1.4 Erreur quadratique moyenne (MSE) 22

2.1.5 Erreur quadratique moyenne intégrée (MISE) 22

2.1.6 Choix du noyau .......... . .. . . .. . . . . . . . . . . 23

2.1.7 Choix de fenêtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.8 Simulation des données . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Cas multivarié........... . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Noyau associé continu asymétrique 35

3.1 Cas univarié ................ . .. . . .. . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Définition ........................... . .. 36

3.1.2 Propriétés élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Biais ponctuel.................. . .. . . .. . . . 41

3.1.4 Variance ponctuelle .... . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . 42

3.1.5 MISE .... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.6 Exemples ................ . . .. . . . . . . . . . . 43

3.2 Cas multivarié........... . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Noyau associé discret 65

4.1 Noyau associé discret pour des données catégorielles 68

4.2 Noyau associé discret pour des données de comptage 73

4.2.1 Noyau associé poissonien . . 73

4.2.2 Noyau associé binomial. . . . . . . . . . . . . 75

4.2.3 Noyau associé binomial négatif . 77

4.2.4 Noyau associé triangulaire . . . . . . . . 78

4.2.5 Choix de fenêtres .... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Noyau associé discret multiple. . . 85

? ?e?r?ss?? ???t???? a ?\u9313‡A??\u9312‡@ ?ss??is ??\u9312‡@t?e ??87

5.1 Estimateur de Nadaraya-Watson 87

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6.1 Notions elementaires
· . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 89

6.2 Traitements preliminaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90

6.2.1 Repartition des panelistes selon les variables caracteristiques . . 92

6.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.1 Dans le cas d'un estimateur a noyau associe triangulaire . . . . 96

6.3.2 Dans le cas d'un estimateur a noyau associe binomial 97

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7.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

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Table des figures

2.1 Illustration des noyaux continus symétriques 19

2.2 Estimation totale a noyau gaussien . 20

2.3 Illustration d'un phénomêne de sous-lissage lors de lestimation dune

densité.............. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Illustration d'un phénomêne de sur-lissagelors delestimation duneden-

sité..................................... . 24

2.5 Illustration d'une estimation idéale . . . . 25

2.6 Lissages par des estimateurs a noyaux continus de la distribution dun

échantillon de loi normale centrée réduite, n = 100 et hPj = 0.338 . . . 31

2.7 Lissages par des estimateurs a noyaux continus de la distribution dun échantillon de loi normale centrée réduite, n = 100 et hCV = 0.429 . . . 32

2.8 Comparaison des lissages par lestimateur a noyau continu d'Epanechni-

kov en faisant varier la fenêtre h 33

3.1 Densité de loi normale centrée .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 36

h = 1.5

3.2 Illustration de la densité normale pour et x varié . . . . .

= . 37
y

x = 2.1 h

3.3 Illustration de la densité normale pour et varié 38

3.4 Allure générale d'une densité gamma. . . . . 44

h = 0.2

3.5 Allure du noyau x

associé gamma pour et varié 45

= 2

3.6 Allure du noyau associé gamma pour x = y et varié .

h . . . . . . 46

3.7 Allure générale de la densité bêta. . . . . . . . . . 51

3.8 Allure du noyau associé bêta pour h = 0.2 et x varié 52

3.9 Allure du noyau associé bêta pour x = y = 2 et h varié 53

3.10 Allure générale de la densité gaussienne inverse 57

3.11 Allure du noyau associé gaussien inverse pour h = 0.1 et x varié 58

3.12 Allure du noyau associé gaussien inverse pour x = 2 et h varié 59

3.13 Allure générale de la densité gaussienne inverse réciproque 61

3.14 Allure du noyau associé gaussien inverse réciproque pour x = 2 et h varié 62 4.1 Illustration de la loi d'Aitchison et Aitken 70

h = 0.2

4.2 Illustration du noyau associé dAitchison et Aitken pour et x varié 71

4.3 Illustration du noyau associé dAitchison et Aitken pour x = y = 2 et h
varié..................................... . 72

h

4.4 Illustration du noyau associé =

poissonnien 0.1

pour x

et .

variée . . . 73

h =

4.5 Illustration du noyau associé binomial pour .

0.1 et .

x varié. .

. . . 75

4.6 Illustration du noyau associé binomial pour x == y7 et h varié 76

4.7 Illustration du noyau associé binomial négative pour h = 0.1 et x varié 78

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"Là où il n'y a pas d'espoir, nous devons l'inventer"   Albert Camus