Introduction Générale
Le monde des télécommunications a connu
une importante évolution depuis la mise au point du
télégraphe (sur câble électrique) en 1837 par Samuel
Morse et l'invention du téléphone en 1875 par Alexander Graham
Bell [1, 2]. En effet, grâce à la théorie de
l'électromagnétisme de James Clerck Maxwell qui prédit
l'existence des ondes radio en 1864, Heinrich Hertz a prouvé
expérimentalement l'existence de ces ondes en 1887 [1, 2]. Par la suite,
Olivier James a établi une communication sans fil sur une distance de
140 mètres en 1894 et Guglielmo Marconi a effectué la
première transmission transatlantique en 1901 [2]. Un grand pas a
été effectué durant les deux derniers siècles avec
le développement des systèmes de transmission sur câbles et
sur ondes hertziennes, mais la qualité et le débit de la
transmission sont restés toujours d'une grande importance. L'idée
de se servir de la lumière dans la communication remonte aux feux de
bois utilisés par les Grecs et les Perses ainsi qu'aux torches
enflammées utilisées par les Romains. En 1958, et avec
l'invention du laser, l'idée d'utiliser l'optique surgit de nouveau. Le
laser(ligt amplification by stymulated émission of radiation) pouvait
remplir dans le domaine lumineux le même rôle que l'oscillateur
radioélectrique dans le cas des ondes hertziennes. Les premières
expériences de transmission étaient dans l'atmosphère, qui
s'est révèlé un milieu de transmission dispersif et
absorbant [2]. L'idée de guider la lumière sur de grandes
distances avec un très faible taux d'atténuation a conduit
à la contruction d'un support révolutionnaire de transmission
qui
est la fibre optique.
De nos jours, la fibre optique tend à remplacer
progressivement le câble coaxial dans la transmission des données.
Celle-ci se fait au moyen d'impulsions générées à
l'entrée de la fibre, et repose sur la modulation binaire de
l'intensité d'une onde lumineuse de très haute fréquence
appelée onde porteuse. sous certaines conditions particulières,
les impulsions générées peuvent être des solitons.
Les solitons se définissent comme des ondes solitaires qui, au cours de
leur propagation conservent leurs formes et leurs énergies [3, 4]. La
géneration d'impulsions à très hauts débits dans le
domaine des femtosecondes fait apparaître des effets d'ordre superieur
influençant fortement la propagation des dites impulsions. Entre autres,
nous avons la dispersion d'ordre trois et l'effet d'auto-raidissement. Ces
differents effets seront pris en compte dans l'équation de
Schrödinger non linéaire (SNL) en vue de l'obtention des solutions
par la méthode Abowitz, Kaup, Newell et Segur (AKNS), incluant les
conditions d'Hirota et la représentation de la paire Lax. Ceci fera
l'objet de notre travail. Ce mémoire s'articule autour de trois
axes.
La première partie, présente quelques
généralités sur la fibre optique. Nous montrons comment
l'équation de Schrödinger non linéaire d'ordre
supérieur modélise la propagation des ondes dans les
systèmes optiques. Par la suite nous présentons la méthode
AKNS.
La résolution de l'équation de
Schrödinger non linéaire d'ordre supérieur par la
méthode AKNS est présentée dans la deuxième
partie.
L'essentiel de la troisième partie est basé
sur la construction de la paire de Lax de l'équation de Schrödinger
non linéaire couplée.
Notre travail s'achève par une conclusion
générale et des perspectives pour des travaux futurs.
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