1.2.4 Equation de propagation
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La polarisation étant une fonction non
linéaire de
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?-E, nous considérons
dans
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un premier temps une réponse purement
linéaire; L'équation d'onde devient dans ce cas :
?2 Ee +
å(ù)k0
Ee = 0 (1.6)
avec å = (n +
iá/2k0)2, n
l'indice et á le coefficient d'atténuation.
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?-E et nous prenons l'impulsion
électrique
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E est la transformée de Fourier de sous la forme
:
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E(z, t) =
q(z, t)
expi(â0z -
ù0t) + cc. (1.7)
En remplaçant (1.7) dans (1.6) et en
considérant l'enveloppe q(z, t)
lentement variable suivant la coordonnée z,
c'est-à-dire;
|?2eq
?z2| «
|â0ù0 ?eq
?z|, (1.8)
l'équation (1.6) se met sous la forme
:
?eq
2iâ0+
(eâ2 -
â2 0)eq = 0,
(1.9)
?z
avec eâ2 =
å(ù)k2
0.
Les effets de la dispersion dans la fibre sont pris en
compte à travers le développement en série de Taylor de la
constante de propagation â(ù)
autour de la fréquence ù0
â(ù) =
â0 + â1(ù -
ù0) + 2â2(ù -
ù0)2 + 1
1 6â3(ù -
ù0)3 + ..., (1.10)
oil âm = dmâ
dtm |ù=ù0
(m =
1,2,3,...).
En prenant la transformation de Fourier inverse de
l'équation (1.9) et en utilisant un référentiel se
déplaçant avec notre signal à la vitesse de groupe
Vg = 1/â1, avec la
transformation T = t - â1z on obtient
:
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?q
=
?z
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i ?2q 1
?3q á
2â2 ?T2 +
6â3 ?T 3 - 2
q, (1.11)
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qui est l'équation de la propagation de
l'enveloppe dans le cadre linéaire.
Si nous tenons compte d'une réponse non
linéaire instantanée, ceci entraîne
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que la dépendance de PNL par rapport au temps et
en fonction de par la relation [6] :
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?-E est donnée
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PNL(z, t) =
o0÷(3)E(z,
t)E(z,
t)E(z, t).
(1.12)
Nous remplaçons par la suite l'équation
(1.7) dans l'équation (1.12), la polarisation non linéaire se met
sous la forme suivante :
PNL(z, t) =
o0÷(3)[3|qq|q(z,
t)expi(-ù0t
+ â0z)
+q3(z,t)exp3i(-ù0t
+ â0z) +
cc]. (1.13)
Dans cette équation, on peut donc observer un
terme oscillant à ù0 mais également un
autre terme oscillant à la troisième harmonique
3ù0. Ce deuxième terme peut
entraîner la génération de troisième harmonique s'il
est en accord de phase avec l'onde pompée. Ce qui n'est pas envisageable
dans les fibres optiques [7]. Il est habituellement négligé dans
la modélisation basée sur la propagation de l'enveloppe du
champ.
1.2.5 L'équation de Schrödinger non
linéaire
En remplaçant l'équation (1.13) dans
(1.5) et en tenant compte de l'équation (1.11), l'équation
traduisant la propagation d'une onde lumineuse dans une fibre optique suivant
une direction z et possédant un champ électrique dont l'enveloppe
est lentement variable avec la fréquence ù est définie
par
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?q
=
?z
|
i ?2q 1
?3q á
2â2 ?T 2 +
6â3 ?T 3 - 2 q
+ iã|q|2q.
(1.14)
|
Cette équation qui est l'équation de
Schrödinger non linéaire.
Sous certaines conditions, des effets non
linéaires influencent la propagation des solitons, et le modèle
est celui Schrödinger non linéaire avec les termes d'ordre
supérieur donné par l'équation
iqz =
-d2(z)qtt -
2r(z)|q|2q
+ id3(z)qttt +
iá(z)(|q|2q)t
+if(z)q(|q|2)t
+ i(z)q, (1.15)
oil
- Le deuxième terme de l'équation
décrit la dispersion d'ordre 2.
- Le troisième terme décrit l'auto
modulation de phase.
- Le quatrième terme décrit la dispersion
d'ordre 3.
- Le cinquième terme décrit la dispersion
kerr
- Le sixième terme décrit
l'auto-raidissement de la fréquence.
- Le septième terme décrit les pertes dues
aux phénomènes d'absorption.
Cette dernière forme d'équation de
propagation d'impulsion lumineuse dans la fibre est encore appelée
équation de Schrödinger non linéaire d'ordre
supérieur. De nombreuses méthodes analytiques ont
été utilisées en vue de rechercher les solutions de
l'équation de Schrödinger non linéaire. Nous nous servirons
de la méthode AKNS à trvers la construction de Lax pour
rechercher les solutions du modèle de Schrödinger d'ordre
superieur.
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