NOTATIONS
Vo La vitesse de référence
Lo La longueur de référence
Champ de la pression non dimensionnel
~
p
p
=
PVo2
P Champ de la pression dimensionnel
PVoLo
Re =
Nombre de Reynold
11
At Pas de temps
AT Pas de temps fictif
h Pas de l'espace
Ax Pas de l'espace suivant la direction x
Ay Pas de l'espace suivant la direction y
Coordonnée horizontale non
dimensionnelle
~
x
=
x
Lo
Coordonnée verticale non
dimensionnelle
~
y
=
y
Lo
|
~
t
|
Vo
=
Lo
|
t Temps non dimensionnel
|
Composante horizontale non dimensionnel de la
vitesse
~
~
=
~
Vo
Composante verticale non dimensionnel de la
vitesse
~
V
=
V
Vo
xi les points de collocation
fN(x, t) L'approximation polynomiale de la
fonction
f~ic(t) Coefficients spectraux
N Nombre de polynômes ou points de collocation
Tk(x) = cos kx Polynômes de Tchebychev d'ordre k
N la viscosité cinématique
% Fonction tourbillon
p La masse volumique de fluide
(Pic(x) Les fonctions de base
' Fonction courant
Sii Symbole Kronecker
~)* Eléments de tenseur de contrainte
M La viscosité dynamique
A Coefficient de poisson
A L'operateur Laplace
ü L'operateur gradient
LISTE DES FIGURES
Figure (1.1) : cavité à paroi
supérieure entrainée avec une vitesse horizontale u=1 Figure
(4.1) : Procédures de résolutions des équations
Navier-Stokes : méthode spectrale
Figure (5.1) : les lignes iso valeurs de la fonction
de courant (Le calcul est fait avec la méthode des différences
finies d'ordre (O(H2)-O(H4)), formulation fonction de courant
tourbillon)
Figure (5.2) : les lignes iso valeurs de la fonction de
courant (méthode des différences finies d'ordre
(O(H2)-O(H4))
Figure (5.3) : Composante U de la vitesse en x=0.5 en
fonction de Y
Figure (5.4) : Composante U de la vitesse en x=0.5 en
fonction de Y, résultats obtenu Katuhiko Goda et R.
Burggraf.
Figure (5.5) : les lignes iso valeurs de la fonction de
courant (Calcul global spectral, vitesse pression).
Figure (5.6) : les lignes iso valeurs de la fonction de
courant (Calcul de fonction de courant pour chaque itération spectral,
vitesse pression).
Figure (5.7) : la composante horizontale de la vitesse en
x=0.5 en fonction de y en formulation vitesse pression avec la méthode
spectrale de collocation Tchebychev
Figure (5.8) : les lignes iso valeurs de la fonction de
courant (Le calcul est fait avec la méthode de collocation de
Tchebychev, formulation fonction de courant tourbillon).
INTRODUCTION
Dans ce travail, on s'intéressera à la
résolution numérique des équations de Navier-Stokes qui
régissent l'écoulement d'un fluide visqueux, incompressible, et
bidimensionnel.
Les Simulations numériques des équations
de Navier-Stokes pour les écoulements de fluide visqueux, incompressible
et bidimensionnel sont généralement basées sur une
formulation en termes de variables primitives (vitesse et pression) ou sur une
formulation en termes de variables fonction courant- fonction tourbillon. La
difficulté majeure qui survient avec la première des deux
formulations précédentes provient du fait d'associer la pression
avec la vitesse pour satisfaire la condition d'incompressibilité.
L'équation de la continuité contient seulement les composantes de
la vitesse, et il n'y a aucun lien direct avec la pression. Avec la formulation
de fonction courant-tourbillon on évite ce problème. Pour le cas
où on a trois dimensions il est préférable d'utiliser la
formulation en variables primitives.
Plusieurs méthodes ont été
proposées pour vaincre la difficulté qui survient dans la
formulation des variables primitives. Parmi celles-ci, la méthode des
différences finies est sans doute la plus utilisée en raison de
son aspect universel, de sa simplicité relative et de la facilité
de sa mise en oeuvre. Les Inconvénients de cette méthode sont :
limitation à des géométries simples, difficultés de
prise en compte des conditions aux limites de type Neumann...etc.
Dans le cadre de la méthode des
différences finies, le degré d'approximation locale est fixe
(typiquement d'ordre 2 ou 4) et la convergence avec l'augmentation du nombre de
points de collocation, vers la solution exacte est due au fait qu'une
approximation de degré donné est d'autant plus précise que
l'intervalle (la distance entre points de collocation voisins) sur lequel elle
est construite est petit.
C'est sur ce point que diffère la
méthode pseudo-spectrale : au lieu de figer le degré
d'approximation local en chaque point de collocation et d'augmenter le nombre
de ceux-ci, on construit une approximation globale (c.-`a-d. basée sur
l'ensemble de points de collocation). Cette approximation (polynomiale), de
degré d'autant plus élevé que le nombre de point sur
lequel elle est construite est grand, sera ainsi d'autant plus précise
que le nombre de points de collocation employés est grand.
L'objectif principal de ce projet est de
développer une méthode numérique effective pour la
résolution des équations de Navier-stokes qui régissent
l'écoulement d'un fluide visqueux,
incompressible et bidimensionnel dans une
cavité carrée. Pour ce but, la solution numérique de ces
équations est basée sur la méthode spectrale avec un
polynôme Tchebychev (nommée aussi méthode de
pseudo-spectral, collocation-Tchebychev). La motivation pour utiliser ce type
des méthodes est lorsque les méthodes spectrales ont de haute
précision et des erreurs très basses pour la prédiction de
l'écoulement dans un régime instationnaire. L'intégration
temporelle du système des équations est exécutée
par un schéma de second ordre semiimplicite (Adams-Bashforth et
Crank-Nicolson).
Les méthodes spectrales ont été
utilisées dans la combinaison temporelle avec un schéma de haut
ordre. Par exemple, [2] Johnny (2007) a utilisé un schéma
temporel d'ordre trois, pour améliorer la exactitude de son algorithme,
Dans ce projet on présente un algorithme basé sur une
méthode spectrale (méthode collocation-Tchebychev). Cet
algorithme numérique utilise une technique de la diagonalisation complet
(technique du non-itérative) lequel est très efficace et rapide
pour la solution directe des équations résultantes après
la discrétisation spatial et temporel.
Les résultats numériques sont
comparés et évalués avec des résultats
numériques précédemment publiés par d'autres
auteurs par exemple ( [4]-Maciej MATYKA -2004- et [2].Johnny de Jesús
Martinez and Paulo de Tarso T -2007- ).
Le rapport est organisé comme suit. En premier,
les formulations mathématiques sont présentées, suivi par
les différentes formulations des équations Navier-stokes. La
section suivante est consacrée à l'étude numérique,
qui consiste en la discrétisation temporelle et spatiale des
équations résultantes. On commence par la méthode des
différences finies puis après celle spectrale (méthode
avec collocation-Tchebychev). Dans la section suivante les résultats
numériques sont présentés. Nous terminerons notre travail
par une conclusion générale.
| 
