Chapitre 3:Resolution des equations de
Navier-stokes
par la Methode des differences finies
3.1 Introduction
Les equations de Navier-Stockes utilisees pour
modeliser le comportement d'un fluide sont des equations aux derivees
partielles dont on ne connaît pas de solution analytique. Il est donc
usuel de recourir à la simulation numerique pour calculer des solutions
approchees de ces equations. Nous etudierons ici comment obtenir une
approximation numerique des equations de Navier-Stockes par la methode des
differences finies.
Les equations de Navier-Stokes contiennent donc bien
des difficultes. Avant d'en aborder la resolution, il convient de bien
maitriser les specificites des equations scalaires presentees ci-dessus et des
methodes numeriques associees.
Les methodes numeriques les plus utilisees en
mecanique des fluides sont les differences finies, et les methodes spectrales.
Il en existe d'autres (volumes finis, les elements finis....) dont nous ne
parlerons pas dans ce projet. Ces methodes transforment le problème
continu en un problème discret.
La methode des differences finies à laquelle
nous nous interessons est une combinaison de deux schemas d'ordre
O(h2) et O(h4) respectivement pour le tourbillon et pour
la fonction de courant.
Le schema à deux dimensions s'obtient en
generalisant le schema à une dimension et en
considerant les deux variables ( , y) d'une
manière separee. Le maillage du domaine se fait dans les deux directions
x et y
La methode des differences finies consiste à
remplacer les derivees partielles aux points du maillage par des developpements
de Taylor :
|
~ }r~ ~
~ qr~ ~ ~
|
~
3
|
OE~
|
7 OE~ ~
~ ~
|
~
~ 3
|
~
OE
|
of( i)
7 OE 7
|
hn a(n)f( i)
é 7 7
|
'~OEè~
7 '~OEè}r~
|
|
ç
ç~ ~
7 é 7
|
êç è
~3=~è OEè
ç~è~~ ~
|
|
ç
|
êç
è
|
Par combinaisons linéaires des
développements de Taylor, on exprime les dérivées
partielles en fonction des valeurs aux points de discrétisation. Ainsi,
en négligeant les erreurs de troncature.
Dérivée première
=
2h (fii 3 fi-1,j) (3.1)
aft; =
oXi
1 ;~ H~)~*}r 3 fi,j-1)
(3.2)
Oki
=
ay;
|
Dérivée seconde
|
a2fij
oXi2
a2fij
aYi2
|
1
? ~~ H~)}r~* 3 ;~)~* 7
~)qr~*J (3.3)
=
? ~~ H~)~*}r 3 ;~)~* 7
~)~*qrJ (3.4)
|
3.2 Principe de la méthode d'ordre O(h4)
C'est un schéma de différences finies
hermitien compact. La précision d'ordre 4 est obtenue avec seulement 3
points de discrétisation, en considérant les
dérivées comme des inconnues supplémentaires. La fermeture
du système est assurée en utilisant des relations additionnelles
obtenues à partir des développements en série de Taylor de
ces dérivées, ainsi que les expressions de l'équation
différentielle en trois points du maillage, au lieu d'un dans chaque
direction d'espace successivement.
É
Si on désigne par h le pas d'espace de la
discrétisation et par ~)~ ~) , fr, les valeurs de la fonction et ses
dérivées premières et secondes au noeud (i), on peut
écrire les relations tri diagonales suivantes :
F (3.5)
~)qr
É 7 ...~) É 7 )}r
É ~ ~ )}r 7 ~)qr~ 7
G~~€~
12
fi" 1 7 10fr 7 )}r
ÉÉ = h2 (fi-Fi 3
2fi 7 fi-1) 7 0(h4) (3.6)
Afin que le système soit bien
déterminé, il est nécessaire d'imposer des conditions aux
limites non pas seulement pour f, mais aussi pour ses drivées
premières et secondes.
Si N est le nombre de noeuds du maillage, on aura donc
en général un système de 3N équations à 3N
inconnues à résoudre, ce qui peut apparaître comme un
inconvénient mais étant donné que la précision
d'ordre O(h4) permet de diminuer le nombre de noeuds du maillage, le gain en
temps de calcul et en occupation mémoire reste encore important. Pour
résoudre l'équation de transport de la fonction du tourbillon, on
utilise la méthode O(h2), par contre pour résoudre
l'équation de poisson de la fonction de courant, on utilise une
méthode d'ordre 4.
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