2.3 formulation (vitesse-tourbillon)
A partir de la définition de la fonction
tourbillon et de l'équation de continuité, on déduit deux
équations de Poisson pour la vitesse :
|
Ow
=
Ox
|
02v Ox2 7
|
02v
0y2
|
(2.24)
|
0(i)= 3>?~~ (2.25)
?~~ 7 ?~~
?~~@
?~
Le système (2.24 ,2.25) avec l'équation
(2.19) constitue les équations de Navier-stokes en formulation
(vitesse-tourbillon) sous forme conservative.
La plupart des méthodes proposées pour
la résolution numérique des équations régissant les
écoulements bidimensionnels d'un fluide visqueux incompressible,
utilisent comme inconnues, soit la fonction vitesse et la pression, soit la
fonction de courant et le tourbillon cette dernière formulation
présente des avantages importants sur les autres formulations. Ces
avantages sont bien connus:
(1) le champ de la vitesse est automatiquement à
divergence
(2) les propriétés mathématiques
des équations permettent de construire des méthodes de la
solution de manière plus simple. Le nombre d'équations est
inférieur à celui avec la formulation précédente
donc la résolution demande moins de temps de calcul. La
difficulté
classique associée à cette formulation est
le manque de conditions aux limites pour la fonction tourbillon.
2.4 Résolution numérique des
équations de Navier-stokes en formulation (4,, w)
|
Equation de transport du tourbillon
aco a (a* co)
ay
3 at ax +
|
a Cat co)
|
=
|
1
|
V2 co (2.26)
|
|
|
|
ay
|
Re
|
Equation Poisson de la fonction de courant
a2*
co = +
ax2
a2*
(2.27)
ay2
Les composantes de la vitesse sont définies par
:
|
u =
|
a*
ay
|
, V =
|
a*
(2.28)
ax
|
2.5 Les conditions aux limites :
- Condition initiales
On suppose le fluide au repos, à l'instant t=0
;
co = 0 , u = 0 , v = 0 (2.29)
A t=0 la paroi supérieure est mise en mouvement
avec une vitesse de module, IIVII = 1
(u = 1, v = 0) les autres parois sont fixes à
chaque instant (conditions d'adhérence). Les conditions aux limites sur
la fonction de courant (V)) sont déduites à partir les conditions
aux limites sur la vitesse.
- Conditions aux limites sur la fonction de
courant
a*
=
ax
a*
a (pour x = 0 ou x = 1) et y E [0,1] (2.30)
y
1 a* = 0
ax
a* _ _
- 1
y
pour x E [0,1] et y = 1 (2.31)
a* a*
=
ax ay
= 0 pour x E [0,1] et y = 0 (2.32)
Les conditions (2.30),(2.31)et(2.32) impliquent que V) =
cte sur le contour de la cavité. On peut sans perdre en
généralités poser V) = 0 sur le contour du
carré.
De même l'équation de poisson (2.27)
écrite sur le contour de la cavité donne immédiatement
:
Résolution d'ENS2D par : méthode des
différences finies et méthode spectrale
V?;'
UT ?~; ~ % ?;' T ?~; ~ G S
pour (x = 0 oux = 1 ety E [OM (2.33)
|
V?;'
UT ?~; ~ G
T?;' ?~; ~ % S
|
pour (y = 0 ou y = 1 et x E [OM (2.34)
|
A ce stade nous avons toutes les conditions aux limites
nécessaires pour la fonction de courant et ses dérivées
premières et secondes.
- Conditions aux limites pour la fonction
tourbillon
Les conditions aux limites pour la fonction tourbillon
sont calculées implicitement à partir d'un développement
limité de la fonction * au voisinage de la paroi. Soit 11Jp
la valeur de la fonction courant au noeud (i, 1) , et 14+1 la valeur de la
fonction courant au noeud (i, 2) .
On aura alors pour la fonction * la relation
:
Ay
ipp+i . ipp
7
_?' 7 ~~~~~
; >?~' 7 ~~~~~
>?~'
?~` ?~~@ ?~~ @ 7 G~~~~~€~
(2.35)
p p p
On sait que sur la paroiinférieuree on a
:
|
?'
TV ?~ ~ G
SUp ?' T ?~ ~ G p
|
g
|
02*
|
?~'
~ G g <~ .É6~5#~;IF...~ ?~~ ~ %p P
P P
|
|
Ox2
|
D'autre part on a :
V?~' ?~ >% 3 ?~'
?~~ @ ~ ?% ?~ 3 ? ?~ >?~'
U
a 02* 02 alp
Oy(Ox2). Ox2
(0y)
partout dans le domaine
T ?~~ ~ ? ?~~ @
S
Or
?;
_?' ?
?~` ~ G g g ?~ N?;'
?~; >?'
?~@ ~ G ?~; O ~ G
p 2
P P
Ce qui donne
a (0
ipp+i 3 ipp = 0 2302 cop 7 06303
lay) 7 0(0(0y)4)
P
On discrétise ZP‡
Pà[p par différence finie, on obtient :
aop 7 cop+i =
(AY)2 (16+1 3 16) 7
0(0302) (2.36)
6
|
Sur la paroi supérieure
:13 = --1
aop 7 cop+i =
|
6 6
~~~~~ H'p}r 3 'pJ 3 7 G ~
(2.37)
~~
|
Les relations (2.36) et (2.37) permettent de calculer
implicitement la fonction detourbillon n sur les deux parois
(supérieure,inférieure)..
On se base sur la formulation (fonction courant-
fonction tourbillon)puisqu'ellee comporte uneéquationn et une inconnue
en moins ce qui implique un temps de calcul moins importantet t
une économie en occupation mémoire. Plus le fait
quel'équationn de da la fonction courantest t munie de
conditions aux limites de types Dirichlet, ce qui permet une
convergencebeaucoup p plus rapide que celle
del'équationn de Poisson de la pression, qui est munie de condition de
type Newman.
| 
