2.5 Modélisation des séries
chronologiques
L'objectif de la modélisation explicative est de
développer des modèles probabilistes permettant de décrire
le comportement d'une ou de plusieurs séries chronologiques et de
résoudre les problèmes liés à la
prévision.
classe de modèles probabilistes suffisamment vaste. Une
classe particulière de modèles fortement utilisés en
pratique est la classe des modèles Autoregressifs moyenne mobile (ARMA).
Cette classe de modèle n'est rien d'autre qu'une approximation d'une
décomposition très connue des processus stationnaires, dite
décomposition de Wold.
2.5.1 Décomposition de Wold
Avant de présenter brièvement, les
modèles de séries chronologiques linéaires existants dans
la littérature et les plus fréquemment utilisés dans la
modélisation des séries chronologiques, il nous est paru
indispensable, pour la bonne compréhension de la performance de ces
modèles, d'énoncer le théorème de Wold (1938) qui
établie une décomposition de chaque processus, de second d'ordre,
faiblement stationnaire. Ce théorème, qui donne une justification
théorique de l'utilité de la classe des modèles
linéaires à coefficients constants, a donné un grand essor
à la modélisation des séries chronologiques. En effet, le
théorème de Wold (1938) est un théorème fondamental
pour l'analyse des séries chronologiques stationnaires ou qui peuvent
être stationnarisées par des transformations adéquates.
Nous commencerons par donner l'énoncé de ce
théorème, puis nous discuterons l'importance pratique de cette
décomposition.
Théorème (Décomposition de Wold (1938))
Tout processus, du second ordre, faiblement stationnaire {Yt, t
Z} possède une décomposition unique donnée par :
Yt = Ct + Xt,
telle que
Les deux processus Ct et Xt sont orthogonaux de plus le
processus C t est purement déterminable (singulier) et Xt est
purement indéterminable (régulier). De plus ce dernier processus
stochastique peut être représenté par une combinaison
linéaire, du présent et du passé d'un processus bruit
blanc, convergente (en moyenne quadratique) unique de la forme :
oùf"t; t E Z} est un processus du second ordre
bruit blanc dit processus d'innovation du processus.
Remarques
a) En notant Ht_1 Xt la projection orthogonale de Xt
sur le sous-espace de Hilbert,H2(Xt_1, t)', l'innovation
normée du processus n'est que l'erreur de prévision à
l'horizon 1, c'est-à-dire elle peut s'exprimer comme suit :
"t=Xt--Ht_1Xt; tEZ.
b) La composante Ct est une fonction déterministe qui
peut être ajustée mathématiquement sans difficulté.
Ainsi, l'intérêt d'un analyste de séries chronologiques va
vers l'étude stochastique de la composante stochastique (non
déterministe) Xt de la décomposition de Wold.
c) Dans le théorème de Wold, la condition de
convergence en moyenne quadratique s'exprime par la condition suivante dite
condition de sommabilité :
P 1O.J1 <oc,avecO0=1.
i=0
d) D'après le théorème de Wold, si nous
omettons la composante déterministe Ct, tout pro-
cessus faiblement stationnaire peut s'écrire comme une
somme pondérée infinie conver-
gente, en moyenne quadratique, de chocs à l'instant
présent et aux instants passés, ces chocs étant
représentés par un bruit blanc de variance finie.
f) L'implication forte de ce théorème est que,
si nous connaissons les pondérations Oj, et si nous connaissons la
variance o-2, nous pouvons proposer une représentation de
n'importe quel processus stationnaire. Cette représentation est aussi
qualifiée de moyenne mobile infinie.
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