2.5.2 Formule de convolution
Le théorème de Wold montre que tout processus,
de second d'ordre, faiblement stationnaire, peut s'écrire sous la forme
moyenne mobile infinie dite représentation de Wold. Néanmoins, on
montre que cette forme est équivalente à la forme suivante dite
formule de convolution (forme d'un modèle autorégressif infini),
qui exprime le processus bruit blanc en
1L'ensemble des variables aléatoires de
carrée intégrable (dont les moments d'ordre deux existent)
consti-
.,/
tue un espace vectoriel normé, dont la norme 11X11 = V ar
(X). Il est également "complet" et constitue donc une structure d'un
espace de Hilbert.
CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES
CHRONOLOGIQUES 38 terme du présent et du passé du processus
stochastique sous-jacent :
00
Et = P P. Xt_ = Xt + P1 Xt_1 + P2 Xt_2 + P3 Xt_3 + ...
, avec P0 = 1, (2.5.2)
i=0
00
où la suite infinie P Pj Xt_j, avec
P0 = 1, est convergente en moyenne quadratique, au-
i=0
trement dit les coefficients P1, P2,
P3, P4, ..., satisfont la condition
00
P ~~P7 ~~ <oc, avecP0=1.
i=0
On conclue donc qu'un processus faiblement stationnaire peut
toujours s'écrire de façon équivalente sous la forme d'un
modèle moyenne mobile infini ou un modèle autorégressif
infini.
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