Etude du prix spot du Gaz naturel

2.6.3 Modèles ARMA

Un modèle ARMA est une composition d'un modèle autoregréssif AR et d'un modèle moyenne mobile MA.

Définition :

Le processus du second ordre {Xt, t E Z} est dit admettre une représentation ARMA, d'ordre p et q notée ARMA (p, q), s'il est solution de l'équation aux différences stochastique suivante :

Xt -

Pp j=1

ojXt-j= et -

q j=1

Ojet-j,

ou encore :

4) (B) Xt = 0 (B) et.

où {et} est bruit blanc de moyenne nulle et de variance o^-2

Ainsi nous constatons que les processus AR (p) et MA(q) sont des cas particuliers du processus ARMA (p, q). Un AR (p) n'est qu'un ARMA (p, 0) et un MA(q) n'est qu'un ARMA (0, q).

Condition de causalité et d'inversibilité

Théorème :

Soit {Xt, t E Z} un processus ARMA (p, q) défini par

4) (B) Xt = 0 (B) et.

tel que les polynômes 4) (.) et 0 (.) d'ordres respectifs p et q n'ont pas de racines communes. Alors, le modèle précédent est dit inversible si et seulement si les racines de l'équation caractéristique associée à 0 :

z^q - 01 z^q-1 - 02 z^q-2 -
·
·
· - B_q = 0

sont en module strictement supérieures à l'unité, i. e., jzj > 1. Et il est causal si et seulement si les racines de l'équation caractéristique associée à 4) :

zp - o1 z^p-1 - o2 ^zp-2 -
·
·
· -o_p =0.

sont en valeurs absolues strictement supérieures à 1, i.e., jzj > 1

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 50 Fonction d'autocorrélation d'un ARMA (p, q)

Pour calculer les autocorrélations d'un modèle ARMA, on procède comme dans le cas des modèles AR. En effet, en multipliant les deux membres de l'égalité suivante

Xt - _{O1Xt_1} - 02Xt_2 -
·
·
· - O_pXt__p = Et - 01Et_1 - _{02"t_2} -
·
·
· - 0 qEt_q par Xt_h et en prenant l'espérance, on obtient :

1

'0

[E (XtXt_h) - çb1E (Xt_1Xt_h) - - ç_pE (Xt__pXt_h)] =

1

'0

[E (etXt_h) - 01E (Et_1Xt_h) - - 0_qE (et__qXt_h)]

Puisque let} est un bruit blanc et par conséquent non corrélé avec le passé du processus Xt, i.,e, E (etXt_h) = 0, Vh =6 0, on obtient

Ph - _{O1Ph_1} - - OpPh_p = 0, Vh > q

Soit finalement

Ph = E^pi=1 OiPh_i,Vh > q.

Fonction d'autocorrélation partielle d'un modèle ARMA (p, q)

La fonction d'autocorrélation partielle d'un processus stochastique satisfaisant à un modèle autoregréssif moyenne mobile d'ordre (p, q) , ARMA (p, q) , peut être calculée en écrivant d'abord le modèle sous forme d'un AR (oo) :

Et = 0 Xt + Q1 Xt_1 + ,82 Xt_2 + ~3 Xt_3 + ::: =

00 E i=0

ei Xt_i.

De l'expression précédente on remarque que la fonction autocorélation d'un modèle autoregressif moyenne mobile d'ordre (p, q) ne montre pas un cut-off comme dans le cas d'un modèle autoregressif pur.