2.6.4 Modèles ARIMA(p,q)
cette hypothèse n'est pas tenable. Pourtant, si l'on
considère, par exemple, les différences premières (ou en
général les différences d'ordre d) d'une série,
l'hypothèse de stationnarité devient plus plausible; auquel cas,
il existe un modèle ARMA (p, q) qui représente
adéquatement une telle série. Ainsi, il est naturel de
considérer une nouvelle classe de modèles, dite ARMA,
intégrée d'ordre d, dont la différence d'ordre d est un
ARMA. Une telle classe est notée par ARIMA (p, d, q).
Un processus du second ordre {Xt, t Z} est dit admettre une
représentation ARIMA d'ordre p, d, q s'il est solution de
l'équation aux différences stochastique :
~ (B)VdX t =e(B) "t
où {€t} est un bruit blanc de variance
cr2, VXt = Xt - Xt_1; et où les racines de CI" (.)
et e (.) sont en module supérieures à 1
La relation précédente peut s'écrire
également comme :
' (B)Xt =e(B) "t
avec: ço(B) = ~ (B)(1 -B)d = (1
-ço1B -::: - op+dBp+d)
Cette dernière équation est analogue à
l'équation de définition d'un modèle ARMA (p + d, q) avec
toutefois la différence fondamentale que le polynôme ço (.)
admet 1 comme racine multiple d'ordre d (cette racine est dite racine
unitaire).
Les modèles ARIMA sont préconisés pour la
modélisation des séries chronologiques présentant une
tendance marquante. Cependant il y a lieu de distinguer entre deux types de
tendances dont l'amalgame conduit à des modélisations aberrantes.
Parmi les processus non stationnaires à tendance, on cite deux grandes
catégories à savoir, la classe des processus à tendance
déterministe (notée TS, Trend Stationary) et la classe des
processus à tendance stochastique (DS, Difference Stationary).
Les processus TS sont des processus non stationnaires que l'on
peut écrire sous la forme suivante :
Xt =ft+Yt
où {Xt} est le processus en question, {Yt} est un
processus stationnaire et ft est une fonc-
tion déterministe de t,
qui peut être l'équation d'une droite, une parabole,..
.L'estimation
de ft conduit à un processus stationnaire. On constate
donc que la non-stationnarité d'un
CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES
CHRONOLOGIQUES 52 processus TS est de type "déterministe".
Un modèle est dit à tendance stochastique s'il
contient au moins une racine unitaire. Dans ce cas, la non-stationnarité
du processus est de type stochastique.
Caractéristiques des processus TS
Supposons qu'un processus peut s'écrire comme la somme
d'une fonction déterministe du temps fi et d'un élément
stochastique stationnaire €i (bruit blanc).
Xi = fi + "i
Si par exemple, fi est une fonction polynomiale d'ordre 1
alors
Xi = + !3t + E:i
Supposons en outre que €irBB (0, u2). On a alors
les propriétés suivantes :
a) E (Xi) = E (a + !3t + €i) = a + !3t,
b) V(Xi) = E(Xi - E(Xi))2 = u2
c) cov (Xi, Xi+h) = E [(Xi - E (Xi)) E (Xi+h - E
(Xi+h))] = E ("i"i+h) = 0. Nous constatons dans ce cas que le processus TS est
caractérisé par une espérance mathématique à
tendance déterministe, une variance constante et des covariances nulles.
Dans un tel modèle, la réalisation des prévisions est
délicate, du fait que l'intervention d'un choc à un instant t n'a
aucune influence sur l'erreur de prévision de la série à
l'instant t + h (les effets d'un choc sur Xi sont transitoires)
Caractéristiques des processus DS
Considérons un processus DS de la forme
Xi =pXi-1 +!3+ "i,
où {€i} est un processus bruit blanc de variance
u2 avec p = 1.
Nous pouvons écrire ce processus sous une autre forme :
Xi =p2 Xi-2+p!3+ p"i-1 +!3+ "i,
Xi = p3Xi-3 + p2!3 + p2"i-2 +
p!3 + pei-1 + !3 + "i.
Par récurrence on obtient
Xi = pTXi-~ + !3 P-1
j=0 pj + P-1
j=0 pj"i-j.
Si l'on suppose maintenant que p = 1 et que r = t on aura donc Xi
=X0+t!3+Pi j=1€j.
CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES
CHRONOLOGIQUES 53 où X0 désigne le premier terme du processus
{Xt}.
Passons maintenant à l'étude des
caractéristiques de ce processus
( )
X0 + t~ + Pt
a) E (Xt) = E j=1 "j= X0 + tj,
Pt 2 tP )
Pt
b) V (Xt) = E (Xt -- E (Xt))2 = E j=1 "j = E "i "j
,
i=1 j=1
=
"2 i +
Pt
i=1
"i"j
Pt
i=1
Pt
i=1
1
AC
Pt
j=1
i6=j
0
B
= E @
E(€2 i )+0 =to2 ",
c) cov(Xt,X5) = E[(Xt -- E(Xt))E(X5 -- E
(Xs))] ; [( Pt ) eP )]
= E sj "j ;
i=1 j=1
=Min(t,s)a2 Vt=6s
Nous constatons que le processus DS est
caractérisé non seulement par une non-stationnarité de
type déterministe, provenant du fait que son espérance est une
fonction évolutive dans le temps, mais aussi par une
non-stationnarité de nature stochastique par le biais des perturbations
dont la variance est une fonction affine du temps et dont le coefficient est la
variance du processus bruit blanc; de ce fait nous pouvons conclure que dans ce
type de processus, chaque perturbation aléatoire est persistante et
possède un effet durable et cumulatif sur le comportement de la
série.
Connaissant les différences qui existent entre les
processus TS et DS, nous concluons que la distinction entre ces deux types de
processus est d'une grande importance, puisque si l'on est en présence
d'un processus TS et que l'on traite comme un processus DS, et vice versa, on
aboutit à une mauvaise stationnarisation.
Conséquences sur un processus TS, d'une stationnarisation
de type DS Considérons un processus TS
Xt=a+/Jt+€t où "teBB(0,a2)
Appliquons à ce processus un filtre aux différences
première
zXXt =(1--B)Xt =Xt --Xt_1 =j+ "t-- "t_1
Analysons les caractéristiques de LÏX
a) E (~Xt) = E (/ + €t - €t_1) = /3,
( )2
b) V (~Xt) = E ~Xt - E (~Xt)= E (€t -
€t_1)2 = 2a2 " = 'y0,
c) cov(~Xt, IXt_h) = E [(~Xt - E (zXt)) E (IXt_h - E
(IXt_h))], = E [(€t - €t_1) (€t_h - €t_h_1)]
,
8
<
:
=
2a2, h=0,
-2, h =+_ 1,
0, h=60.
d'où la fonction d'autocorrélation suivante
8
<>
>:
Ph =
1, h=0,
1
-2, h=#177;1,
0, h=60.
On remarque que LïXt n'a pas les caractéristiques
d'un bruit blanc, on conclue donc qu'un
filtre aux différences a
créé une perturbation artificielle puisqu'il apparaît une
autocorrélation
1
des erreurs à l'ordre 1 égale à
-2.
Tests de racine unitaire
La perception des processus TS et DS n'est pas une tâche
facile, c'est pour cette raison qu'on a recours aux tests de racine unitaire.
Ces tests, et comme l'indique leur nom, portent sur l'existence ou non d'une
racine unitaire de la fonction caractéristique du modèle de
série chronologique candidat à décrire le processus
sous-jacent. Si une telle racine existe, alors la transformation
adéquate pour la stationnarisation de ce processus est bien la
différence ordinaire, et dans ce cas on dit qu'on est face à un
processus non stationnaire de type DS. Le principe de ces tests consiste
à tester l'hypothèse nulle de racine unitaire (le processus est
non stationnaire DS) contre l'hypothèse alternative d'absence de racine
unitaire.
Il existe un grand nombre de test de racine unitaire, parmi ces
tests nous allons citer les tests de Dickey-Fuller simple et augmenté
(1979).
Test de Dickey-Fuller simple (DF)
Trois modèles de base pour la série Xt ont
été proposé par Dickey et Fuller. Modèle (1) :
modèle sans constante ni tendance déterministe
Xt = PXt_1 + €t
CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES
CHRONOLOGIQUES 55 Modèle (2) : modèle avec constante sans
tendance déterministe
Xt = c + pXt_1 + E:t
Modèle (3) : modèle avec constante et tendance
déterministe
Xt = c+bt+pXt_1 + "t
Le but de ce test est de tester l'hypothèse nulle de
racine unitaire contre l'hypothèse alternative d'absence de racine
unitaire.
L'hypothèse du test est la suivante
{
H0:p=1, H1 : p <1 En pratique, on estime les modèles
suivants
Modèle (1)'
lxXt =qXt_1 + "t
Modèle (2)'
1XXt =c+qXt_1 + "t
Modèle (3)'
~Xt=c+bt+qXt_1+€t, avecq=p--1
|
( )
On compare la t--statistique t ~ , associée à q,
à la valeur critique ttabul~e avec t ~ =
tel que si
{t ~ <ttabul~e = on rejette H0, t ~ ~ttabul~e=
on accepte H0
|
bq--1
b"
|
Notons que ces tests ne seront pas effectué sur les trois
modèles (1)', (2)' et (3)'. En pratique
on adapte une stratégie séquentielle en trois étapes
Etape 1 : Dans cette étape on estime le modèle
(3)' et on teste la signification de la tendance
déterministe.
Si la tendance n'est pas significativement différente
de zéro (t--statistique de la tendance est inférieure aux valeurs
critiques de la tendance tabulées par Dickey-Fuller) on passe à
l'étape 2
Si la tendance est significativement différente de
zéro, on teste l'hypothèse nulle de
racine unitaire en comparant t ~ aux valeurs tabulées par
Dickey-Fuller. Si on accepte H0, Xt est non stationnaire de type DS.
Si on rejette H0, Xt est de type TS.
Etape 2 : Cette étape n'est applicable que si la tendance
n'est pas significative, donc on estime le modèle (2)' et on
teste la signification de la constante.
Si la constante n'est pas significative on passe à
l'étape 3
Si la constante est significative, on teste l'hypothèse
de racine unitaire.
Si H0 est acceptée, donc Xt est non stationnaire
de type DS.
Si H0 n'est acceptée, Xt est stationnaire.
Etape 3 : Cette étape n'est applicable que si la constante
dans le modèle n'est pas significative. On estime dans ce cas le
modèle (1)' et on teste l'hypothèse nulle de racine
unitaire. Si H0 est acceptée, Xt est non stationnaire de type DS.
Si H0 est rejetée, Xt est stationnaire.
Test de Dickey-Fuller augmenté (ADF)
Les tests ADF s'éffectuent exactement comme les tests DF
sur les modèles suivants : Modèle (1) :
LXt = ~Xt_1+ X p çbj1XXt_ +
€t
j=1
Modèle (2) :
/XXt =c+çbXt_1 + X p çbj/XXt_
+ €t
j=1
Modèle (3)
lxXt =c+bt+çbXt_1 + X p çbj/XXt_ +
€t
j=1
Remarques
? 1. Avant d'appliquer le test ADF il faut préciser
l'ordre de décalage p tel que le critère
d'Akaïke soit minimum.
? 2. Les tables de Dickey-Fuller figurent dans l'annexe A.
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