Proposition d'un système d'alimentation en eau potable d'une agglomeration peri-urbaine

II.5.2 Loi de Darcy-Equation de diffusivité-Formule de Dupuit

En 1856, Henry Darcy a mis en évidence une relation entre le débit transvasant un milieu poreux et le gradient de la charge hydraulique appliquée. La forme moderne de la loi de Darcy s'exprime plutôt par :

q = -K.Vh

q : vecteur flux apparente de Darcy (m/s)

K : tenseur de conductivité hydraulique (m/s)

Vh : gradient du champ de potentiel hydraulique (m/m)

L'équation de continuité est un bilan de masse qui établit le portrait de la circulation de l'eau souterraine dans un volume infinitésimale d'aquifère.

Ce bilan s'exprime par :

divK.Vh=Ss			ah at+ ^Q
a^2h ax2 +	a^2h a y2 +	a^2h Ss ah Q az2 = + K Kat

Pour un domaine bidimensionnelle et l'absence de terme de source ; l'équation de continuité s'écrit en coordonnes cylindriques (ne dépendant que de r) par :

17

1 ô (( ^ôhll = ô ²h 1 ôh =

S ôh

r ôr ^`r _ôr ^l _ôr2 + r ôr T ôt

S_S : Emmagasinement spécifique (m^-1).

S : Coefficient d'emmagasinement (adimensionnelle).

T : Transitivité (m²/s).

? Rabattement des nappes phréatiques par pompage et débits des puits DUPUIT a étudié la question à partir de la schématisation suivante :

Soit un massif de sol homogène, perméable, de dimensions limitées, reposant sur une assise horizontale imperméable. On fore un puit à débit constant. Le massif limité est défini par une surface latérale cylindrique de rayon R. la surface libre de la nappe a une forme parabolique à l'intérieur du massif. Elle est horizontale à l'extérieur.

Fig. 2.3 : Rabattement de la nappe.

Selon DUPUIT, après transformation mathématiques, le débit de pompage, la perméabilité et la géométrie du puit sont reliés par la relation suivante :

H2 - h2

q=ir.k.
	?? ???? r

^x

r

La trace de la surface libre ou méridienne a comme équation :

q

z2 = h² + _k. ln

n.

Dans la pratique du cylindre latéral est remplacée par celle du rayon d'action qui détermine la distance au-delà de laquelle l'action de pompage ne se fait pas sentir.

SCHARDT propose : R = 300(H - h)-k%k avec H, h et R en mètres et k en mlsec.

Par ailleurs, on démontre qu'en régime non permanent notamment en cas d'épuisement de la nappe, et si l'on suppose que la nappe s'étend à l'infini qu'elle n'est pas alimentée et qu'elle est initialement au repos.

R = 1.5

n

jk.H.t

EDIDI HERVE mémoire de fin d'études UNIKIN 2015-2016

Avec n la porosité et t le temps de pompage.

EDIDI HERVE mémoire de fin d'études UNIKIN 2015-2016

18

Jacob a trouvé, par une approximation logarithmique la formule proposée par Theis, ceci :

h(??, t) = 2???? ????v2.25??t Q

????²