Remerciements.
T
out d'abord je tiens à remercier Dieu de m'avoir
donné le courage, la morale et la santé pour mener à bien
ce travail.
J
e tiens à remercier avec tous mes sentiments de
respectueuse gratitude mon promoteur Mr. Kamal BOUKHETALA Professeur
à l'USTHB pour sa proposition de sujet ainsi pour son soutien, ses
orientations et ses précieux conseils.
J
'exprime aussi ma profonde gratitude à Mr. Mustapha
MOULAI Professeur à l'USTHB, pour avoir accepté de
présider le jury de soutenance.
J
e remercie également : Mr. Rachid OUAFI
Maître de conférences à l'USTHB, et Mr. Abdelkader
TATACHAK Maître de conférences à l'USTHB, pour avoir
accepter d'examiner cette thèse.
E
nfin, je remercie chaleureusement toutes les personnes qui
m'ont aidé, et qui ont contribué de proche ou de loin à
la réalisation de ce travail.
Résumé
D
ans ce travail, on propose un nouveau package
Sim.DiffProc [9] pour la simulation des processus de
diffusion, muni d'une interface graphique (GUT), sous langage R. Le
déve-
loppement de l'outil informatique (logiciels et
matériels) ces dernières années, nous a motivé de
réaliser ce travail. A l'aide de ce package, nous pouvons traiter
beaucoup de problèmes théoriques difficiles liée à
l'utilisation des processus de diffusion, pour des recherches pratiques, tels
que la simulation numérique trajectoires de la solution d'une EDS. Ce
qui permet à beaucoup d'utilisateurs dans différents domaines
à l'employer comme outil sophistiqué à la
modélisation de leurs problèmes pratiques. Le problème de
dispersion d'un polluant [2, 4], en présence d'un domaine attractif que
nous avons traité dans ce travail en est un bon exemple. Cet exemple
montre l'utilité et l'importance pratique des processus de diffusion
dans la modélisation simulation de situations réelles complexes.
La fonction de densité de la variable aléatoire
'rc "instant de premier passage" de la frontière de
domaine d'attraction peut être utilisée pour déterminer le
taux de concentration des particules polluantes à l'intérieur du
domaine. Les études de simulation et les analyses statistiques mises en
application à l'aide du package Sim.DiffProc, se
présentent efficaces et performantes, comparativement aux
résultats théoriques explicitement ou approximativement
déterminés par les modèles de processus de diffusion
considérés.
Introduction générale
L
a nature aléatoire de nombreux phénomènes
évolutifs, dans des domaines très divers, tels ceux de la
physique, astronomie, biologie, les mathématiques financières,
géologie, analyse
génétique, épidémiologie et
beaucoup d'autres champs de la science et de l'ingénierie,
nécessite fréquemment la description de tels
phénomènes par des équations différentielles
stochastiques, qui peuvent être un outil puissant pour la
modélisation. L'étude des équations stochastiques s'est
beaucoup développée ces dernières années, c'est un
domaine plein de perspectives et de recherche. Dans beaucoup de literatures, on
rencontre les équations stochastiques avec légère
variations d'écriture, ainsi que leurs divers applications, voir par
exemple [1, 18, 21, 36, 40].
Soit x0 E Rn, Considérons,
pour u : Rn --+ Rn, champ
vectoriel régulier, l'équation différentielle ordinaire
:
Jdx dt (t) =
u(t,x(t)), Vt ~ 0 (1)
x(0) = x0
la solution de l'équation (1), si elle est unique, est
représentée par une trajectoire. Dans la plupart des applications
où une telle équation différentielle ordinaire intervient,
les trajectoires mesurées expérimentalement ne sont que rarement
conformes aux solutions analytiques de l'équation. Des effets
aléatoires viennent se superposer à la trajectoire idéale,
et il semble donc raisonnable de modifier l'équation (1) en y
introduisant un processus aléatoire perturbant le système.
Formellement, la modification s'écrit :
(
Vt ~ 0 (2)
dX dt (t) =
u(t,Xt) +a(t,Xt)ît,
X0 = x0 où : a : Rn --+
Rnxm, et ît est un bruit blanc
gaussien m-dimensionnel. Cette approche soulève
les problèmes suivants :
1. Définir ît de manière
rigoureuse.
2. En déduire l'influence de ît dans la
résolution de l'équation (1).
3. Montrer que l'équation (1) a une solution, discuter de
l'unicité, du comportement asymptotique, du rôle de a, de
x0,...
Considérons tout d'abord que le bruit blanc gaussien
ît est la dérivée formelle du processus de Wiener.
Dans le cas général, l'équation (2) peut alors se
réécrire :
(
dXt = u(t,Xt)dt +
a(t,Xt)dWt, Vt = 0 (3)
X0 = x0
l'équation obtenue alors est une équation
différentielle stochastique.
Dans notre travail on s'intéresse a les solutions des
équations différentielles stochastiques qu'on va étudier,
sont des processus Markoviens à valeurs dans Rn,
qu'on appelle les processus de diffusion qui constituant la plus importante
classe. Cependant, le mouvement Brownien Wt (où processus de
Wiener) est utilisé comme un modèle de diffusion homogène.
Les modèles de diffusions sont représentés par des
équations différentielles stochastique de la forme (3), dite
équation de type Itô.
Le mathématicien Kiyoshi Itô [27], a donné
un sens à ces équations, et a montrer l'existence et
l'unicité de la solution de l'équation (3) sous certaines
conditions de régularité des fonctions
u(t,x) et ó(t,x),
appelées respectivement coefficient de dérive et coefficient de
diffusion. Xt est solution de l'équation (3) si et seulement si
:
Z t Z t
Xt = x0 + 0
u(s,Xs)ds + 0
ó(s,Xs)dWs, t
= 0 (4)
Xt est donc défini à l'aide
d'intégrales dites intégrales stochastiques d'Itô.
Notre travail est structuré de la façon suivante
:
Dans le premier chapitre nous rappelons quelques notions
fondamentales et les principaux aspects théorique des processus
stochastiques. Les martingales sont un outil essentiel et important, qui nous a
permis d'établir de nombreux résultats ainsi le
théorème d'arrêt.
Le second chapitre est consacré à l'étude
détaillée du mouvement Brownien, sa construction, ces
propriétés, ainsi sa simulation unidimensionnel et
multidimensionnel. La difficulté de modélisation du mouvement
brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et
que statistiquement, le déplacement est nul, c'est-à-dire que le
coefficient de dérive est nul, il n'y a pas de mouvement d'ensemble.
Pour cela il est aussi possible de définir la notion de mouvement
brownien avec dérive. Il s'agit d'un mouvement brownien
arithmétique (dans la finance modèle de Merton). Le
mouvement brownien géométrique (où le modèle de
marché de Black et Scholes) et le pont brownien, sont des
objets mathématiques de la théorie des probabilités,
représentent l'un des plus importants processus stochastique et ont de
nombreuses applications dans la finance, et ce en les illustrant par des
exemples de simulation, afin de rendre plus facile la compréhension des
propriétés qui le caractérise. On termine ce chapitre par
la détermination les lois des temps de passage, et la
caractérisation de Paul Lévy du mouvement brownien.
Le troisième chapitre est composé de quatre
parties. La premier partie sera consacrée à donner un sens
à l'intégrale stochastique lorsque celle-ci est prise par rapport
à un mouvement brownien, notons juste que la construction de cet
intégrale au sens d'Itô [27] fait appel à un changement de
la mesure d'intégration habituelle par une nouvelle mesure, ainsi nous
parlons de la formule d'Itô dans le cas unidimensionnel et
multidimensionnel, qui sera illustrée par quelques exemples
d'applications. Dans la deuxième partie on
s'intéresse à définir les équations
différentielles stochastiques d'une manière
générale, à l'exception les processus de diffusion,
naturellement nous annonçons le théorème de l'existence et
unicité des solutions des ÉDS, nous donnons la définition
et la différence entre un bruit blanc et un bruit coloré, ainsi
la transformée de Lamperti [30] qui sera très utile sur
le plan numérique pour améliorer la précision. La
détermination de la solution exacte de Xt d'une ÉDS est
très difficile à déterminer surtout lorsque la partie
aléatoire est exprimée en fonction du processus Xt,
c'est ainsi qu'on se tourne vers les méthodes numériques de
l'ÉDS dont la base est fondée sur la discrétisation du
temps. Nous présenterons alors dans la troisième partie,
l'approche numérique, en citant les principaux schémas qui la
concernent et qui permettent d'approcher la solution exactes de ces
équations. Nous illustrerons par des exemples de simulation des
différents méthodes. Dans la dernier partie de ce chapitre on
s'intéresse à l'utilisation des processus de diffusion dans la
modélisation de deux phénomènes, le premier est de
modéliser une trajectoire d'un polluant, qui se déplace sur une
surface d'eau turbulente en présence d'un mécanisme d'attraction
[2, 4], et le deuxième porte sur une modélisation d'un
phénomène d'attraction entre deux insectes mâle et femelle
[5].
Le dernier chapitre, nous commençons par la
présentation de deux équations fondamentales permettant de
d'écrire l'évolution des lois de probabilités relatives
à un processus de diffusion. Les équations de
Fokker-Planck [35] ou les équations de Kolmogorov, qui
décrit l'évolution dynamique de la densité de
probabilité d'un système hors d'équilibre, ainsi sa
distribution stationnaire si elle existe. Nous annonçons deux
théorèmes donnant l'existe d'une relation simple entre les deux
différentielles Itô et Stratonovitch, ces derniers sont
très utiles pour la modélisation d'une équation physique,
nous illustrerons cette modélisation par l'exemple de l'oscillateur
de Van Der Pol. Par la suite nous parlerons de classification des
processus de diffusion linéaire, en distinguant trois types. Ce chapitre
se terminer par l'étude et l'analyse statistique de la variable
aléatoire l'instant de premier passage "IPP" dans le cas du
modèle d'une diffusion en attraction [2, 4, 6, 7], et l'instant de la
première rencontre entre deux insectes, c'est-à-dire dans le cas
du modèle de deux diffusion en attraction.
On terminera ce travail avec une conclusion
générale, et quelques perspectives. Il est à noté
que dans tous nos programmes, nous utiliserons le langage R [32], qui sont
présentée dans l'annexe A, ainsi pour toutes les
exemples. Dans l'annexe B nous donnons quelques règles pour la
création des packages sous R, et nous donnons aussi une
présentation de deux packages:
(1) Sim.DiffProc : Simulation of Diffusion
Processes [8, 9].
(2) Sim.DiffProcGUI : Graphical User Interface
for Simulation of Diffusion Processes [10].
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