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Généralité sur Les Processus Stochastiques

Sommaire
1.1	Introduction	7
1.2	Définitions des processus	7
1.3	Processus stochastiques particuliers	8
1.4	Processus stochastiques établi à partir de la distribution gamma	10
1.5	Processus stochastiques établi à partir de la distribution de Student . . . .	11
1.6	Processus de Markov	12
1.7	Processus du second ordre	13
1.8	Processus ergodiques	15
1.9	Martingales et temps d'arrêt	16

1.1 Introduction

L

'origine des processus stochastiques remonte aux progrès faits au début du XX^e siècle dans certaines branches appliquées, telles que la mécanique statistique (par Gibbs, Boltzmann,

Poincaré, Smoluchowski et Langevin). Les bases théoriques ont été formulées plus tard par [17, 28] et d'autres (1930-1940). C'est durant cette période que le mot "stochastique", qui provient du grec stokhastikos "conjectural", a commencé à être employé. D'autres progrès ont été faits aussi à partir du mouvement brownien en physique (par Einstein, Lévy et Wiener).

Nous introduisons dans ce chapitre les principaux processus aléatoires à l'exception du mouvement brownien qui fait l'objet d'un chapitre séparé. Nous retrouverons la plupart de ces processus dans les problèmes de calcul stochastique. Les processus du second ordre ont de nombreuses applications en théorie du signal.

1.2 Définitions des processus

Soit (~,.i,P) un espace de probabilité, et T un ensemble d'indices (T = [a,b],T = [0,oo[,...) un processus stochastique X(t,(0) à valeur dans un espace mesurable (E, ) est une application de T ×~ dans E qui est mesurable par rapport à la mesure du produit A·P où A est la mesure de Lebesgue sur T. Il est noté indifféremment Xt((0) ou X(t,(0). La fonction t '-? X(t,(0) est appelée trajectoire ou réalisation de Xt. A t fixé, la fonction (0 i-? X(t,(0) est une variable aléatoire. Xt est adapté à la filtration _t si Xt est t-mesurable. Le théorème de Kolmogorov assure l'existence des processus stochastiques. Xt est un processus centré si son espérance est nulle E(Xt) = 0, et si Xt est dans L² (E|Xt|² < oo), on définit :

La moyenne du processus

Zm_x(t) = E(Xt((0)) = Ù Xt((0)dP((0)

La variance

a2 _x(t) = E[|Xt -E(Xt)|²]

La fonction de covariance

['(s,t) = E(X_s -E(X_s))(Xt -E(Xt))

= E(X_sXt) - E(X_s)E(Xt)

La régularité des trajectoires est déterminer par le théorème de Kolmogorov.

Théorème 1.1 (Kolmogorov) Soit (Xt)t=0 un processus stochastique tel que pour tout t, t + h dans [a,b], il existe des constantes p > 0, c > 0 et r > 0 vérifiant

E[|Xt+h -Xt|^p] = c|h|^1+r

alors presque toutes les trajectoires sont continues.

Les théorèmes suivants fondent la représentation spectral des processus stationnaires.

Théorème 1.2 (Herglotz) Soit c une fonction semi-définie positive de Z dans C. Il existe une unique mesure positive u sur ] - ð,+ð] telle que pour tout entier n E Z,

Z +ð

c(n) = -ð einëdu(ë)

Théorème 1.3 (Bochner) Soit c une fonction continue et semi-définie positive de R dans C. Il existe une unique mesure bornée u telle que pour tout t E R,

Z +8

c(t) = -8 eitëdu(ë)

Définition 1.1 (Filtration) Soit (Ù,.i,P) un espace de probabilité, la filtration est une famille croissante de sous tribus de .i, noté par ( t,t = 0). La tribu _t est une description mathématique de toute l'information dont on dispose à l'instant t. Cette information nous permet d'attribuer des probabilités cohérentes aux événements pouvant intervenir.

Définition 1.2 (Processus adapté) Un processus {Xt,t = 0} est dit adapté à la filtration ( t,t = 0) si pour chaque t, Xt est t-mesurable. Un processus adapté est celui pour lequel une description probabiliste est réalisable.