4.4.2 Processus de diffusion de type G
Pour ce modèle, nous avons :
Coefficient de dérive: A(t,Xt)
= r(è -Xt), r > 0.
B(t,Xt) = vóXt,
ó > 0.
Coefficient de diffusion :
dXt = r(è - Xt)dt +
vóXtdWt.
ÉDS :
(x )-1+è ä e- x
ä
Distribution stationnaire : ð(x) =
(è ), ä = ó 2r.
ä ä
Statistique : moyenne = è, mode = è- ä,
variance = äè.
Preuve D'après l'équation (4.16)
,on a
d 1 d2
d ó d2
dx (r(è - x)ð(x))
- dx2 (óxð(x)) = 0 ? r
dx ((è - x)ð(x)) - dx2
(xð(x)) = 0
2 2
? r(è - x)ð(x) -
ó d
2 dx(xð(x)) = 0
ó
? r(è - x)ð(x) =
2(ð(x) + xð'(x))
ó ó
? r(è - x)ð(x) - 2
ð(x) = 2 xð0(x)
|
ðe(x)
?
ð(x)
|
= 2 (r(è-x)- ó)
óx 2
|
ðe(x)
?
ð(x)
(2rè 1 )1
2r ó xó
(2rè
? ln|ð(x)| = - ó 1 ) ln(x)- ó
2r x+C
~ ~
2rè
? ð(x) = Kxó -1 exp
-2r ó x
Posant ä = ó2r avec K =
ä1-èä / (2), d'où on trouve la
distributions stationnaire ð(x) d' une équation de type
G, qui suit une loi gamma ã (èä,1) ä
~x ~-1+è ä e- x ä
ð(x) = ~è ~
ä ä
Simulation numérique de la distribution
stationnaire de modèle de type G
On considère par exemple le modèle
Cox-Ingersoll-Ross (CIR) (Chapitre 3 exemple 3.6) décrit par
l'équation différentielle stochastique
dXt = r(è - Xt)dt +
óvXtdWt, X0 = x0 > 0. (4.20)
Avec la condition 2rè >
ó2. Posant par exemple (r,è,ó) =
(0.5,3,1) et x0 = 100,Ät = 0.1, donc
on a le modèle
1
dXt = 2 (3 - Xt)dt +vXtdWt,
x0 = 100
simulons numériquement un échantillon
Xv=90 de taille 100 à partir de cette équation
R> f <- expression( 0.5*(3-x) ) R> g <- expression(
sqrt(x) )
R> AnaSimX(N = 1000, M = 100, t0 = 0, Dt = 0.1, X0 = 100, v =
90,
+ drift = f, diff = g)
R> X
|
[1]
|
1.9781677
|
2.7698461
|
1.9426347
|
6.8094888
|
3.2716436
|
11.0541449
|
|
[7]
|
1.6495788
|
2.7213673
|
5.6279096
|
4.1147230
|
3.6330197
|
1.8322262
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
[89]
|
2.1697131
|
6.5484018
|
0.8467619
|
2.5333814
|
1.1763158
|
3.3743554
|
|
[95]
|
0.4432751
|
3.7510871
|
1.6463437
|
2.0691975
|
1.8540492
|
3.8536741
|
R> summary(X)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.5483 1.7760 2.7510 3.1900 4.2450 10.0500
R> var(X)
[1] 3.492991
Estimations des paramètres :
R> Ajdgamma(X, starts = list(shape = 1, rate = 1), leve =
0.95) Profiling...
$summary
Maximum likelihood estimation
Call:
mle(minuslogl = lik, start = starts)
Coefficients:
Estimate Std. Error shape 3.079444 0.4161674 rate 0.962066
0.1412105
-2 log L: 376.7305
$coef
shape rate
3.079444 0.962066
$AIC
[1] 380.7305
$vcov
shape rate
shape 0.17319531 0.05410881
rate 0.05410881 0.01994040
$confint
2.5 % 97.5 %
shape 2.3372820 3.972203
rate 0.7104027 1.265122
Ajustement de la distribution stationnaire ð(x) :
R> hist_general(Data = X, Breaks='Sturges', Law = "GAmma")
R> Kern_general(Data = X, bw='SJ', k = "gaussian", Law =
"GAmma")
FIGURE 4.6 - Ajustement de la distribution stationnaire du
modèle CIR par la méthode d'histogramme.
Test de Kolmogorov-Smirnov :
FIGURE 4.7 - Ajustement de la distribution stationnaire du
modèle CIR par la méthode du noyau.
R> ks.test(X, "pgamma", shape = 3, rate = 1 ) One-sample
Kolmogorov-Smirnov test data: X
D = 0.0722, p-value = 0.6741
alternative hypothesis: two-sided
| 
