4.4.3 Processus de diffusion de type B
Pour ce modèle, nous avons :
Coefficient de dérive : A(t,Xt)
= r(è - Xt), r > 0, è ?]0,1[
Coefficient de diffusion : B(t,Xt) =
VóXt(1 -Xt), ó > 0.
ÉDS : dXt = r(è -
Xt)dt + VóXt(1 -Xt)dWt,
X0 ? [0,1].
|
Distribution stationnaire : ð(x) =
|
~1 ~
~~1-è
ä
~è ~x
ä ä
|
-1+è ä (1 -
x)-1+1-è
ä ,ä = ó .
2r
|
è - ä è(1 - è)
Statistique : moyenne = è, mode = 1 - 2ä, variance =
1+ä .
Preuve D'après l'équation (4.16)
,on a
d 1 d2
dx (r(è-x)ð(x)) -
2 dx2 (óx(1 - x)ð(x)) = 0 ?
(1)
2
d ó d
(1) ? r dx ((è -
x)ð(x)) - 2 dx2 (x(1 -
x)ð(x)) = 0
ó d
? r(è - x)ð(x) - 2
dx(x(1 - x)ð(x)) = 0
2r
? (è - x)ð(x) = ((1 -
2x)ð(x) + x(1 -
x)ð0(x))
~2r
ó ~
? ó (è - x) - (1 - 2x)
ð(x) = x(1 - x)ð'(x)
ðe(x)
?
ð(x)
1 (2r(è-x)-ó(1
-2x))
=
ó x(1 -x)
ðe(x)
?
ð(x)
=
1 (2rè-ó 2r(1 - è)
-ó)
ó x 1 - x
2rè- ó 2r(1 -
?ln|ð(x)| = ó ln |x|+
ó) - óln |1- x| + C
2rè
? ð(x) = Kxó -1(1 -
x)2r(1-è)
ó -1
Posant ä = ó2r avec K égale
à
K=
~1 ~
ä
~è ~~1-è ~ ä ä
d'où on trouve la distributions stationnaire
ð(x) d'une équation de type B, qui suit une loi
bêta standard B ~è ~
ä, 1-è
ä
|
ð(x) =
|
~1 ~
~~1-è
ä
~è ~x
ä ä
|
-1+èä(1 -
x)-1+1-è
ä
|
Simulation numérique de la distribution
stationnaire de modèle de type B
On considère le processus de diffusion de Jacobi
Xt, solution de l'équation différentielle stochastique
\/
dXt = r(è - Xt)dt +
óXt(1 - Xt)dWt, X0 = x0 ?
[0,1]. (4.21)
Avec è ?]0,1[. Posant par exemple
(r,è,ó) = (2,0.5,1) et x0 = 0,Ät
= 0.01, donc on ale modèle
(1 ) \/
dXt = 2 2 - Xt dt + Xt(1 -
Xt)dWt, X0 = 0.
Simulons numériquement un échantillon
Xv=9 de taille 100 à partir de cette
équation
R> f <- expression( 2*(0.5-x) )
R> g <- expression( sqrt(x*(1-x)) )
|
R> AnaSimX(N = 1000, M = 100, t0 = 0,
+ drift = f, diff = g)
R> X
|
Dt = 0.01,
|
X0 = 0, v =
|
9,
|
|
[1]
|
0.61568827
|
0.22363297
|
0.23333832
|
0.34456437
|
0.86391343
|
0.67870198
|
|
[7]
|
0.82226081
|
0.06663198
|
0.60156924
|
0.58966279
|
0.57626142
|
0.63231225
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
[89]
|
0.43607965
|
0.61750493
|
0.19505968
|
0.87196355
|
0.79428433
|
0.61846946
|
|
[95]
|
0.72321640
|
0.45797652
|
0.88082305
|
0.53119498
|
0.49339106
|
0.48472011
|
R> summary(X)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.01721 0.35020 0.53090 0.51870 0.71230 0.94530
R> var(X)
[1] 0.0502775
Estimations des paramètres :
R> Ajdbeta(X, starts = list(shape1 = 1, shape2 = 1), leve =
0.95) Profiling...
$summary
Maximum likelihood estimation
Call:
mle(minuslogl = lik, start = starts)
Coefficients:
Estimate Std. Error shape1 2.020047 0.2739796
shape2 1.909258 0.2571918 -2 log L: -23.83837
$coef
shape1 shape2
2.020047 1.909258 $AIC
[1] -19.83837
|
$vcov
|
|
|
|
shape1
|
shape2
|
|
shape1
|
0.07506481
|
0.05515151
|
|
shape2
|
0.05515151
|
0.06614760
|
|
$confint
|
|
|
2.5 %
|
97.5 %
|
shape1 1.531554 2.607888
shape2 1.450570 2.460968
Ajustement de la distribution stationnaire ð(x) :
R> hist_general(Data = X, Breaks='Sturges', Law = "Beta")
R> Kern_general(Data = X, bw='Bcv', k = "gaussian", Law =
"Beta")
FIGURE 4.8 - Ajustement de la distribution stationnaire de
processus de diffusion de Jacobi par la méthode d'histogramme.
FIGURE 4.9 - Ajustement de la distribution stationnaire de
processus de diffusion de Jacobi par la méthode du noyau.
Test de Kolmogorov-Smirnov :
R> ks.test(X, "pbeta", shape1 = 2, shape2 = 2 ) One-sample
Kolmogorov-Smirnov test data: X
D = 0.0803, p-value = 0.5385
alternative hypothesis: two-sided
Propriété 4.1 (Diffusion de Pearson)
Une diffusion de Pearson8 {Xt,t = 0}
[20], est une solution stationnaire à une équation
différentielle stochastique de la forme suivante :
\1 dXt = r(9 - Xt)dt +
2a(aX2 t + bXt + c)dWt
(4.22)
Avec r > 0 c'est la vitesse de convergence vers
l'équilibre, et 9 c'est la moyenne à l'équilibre, a >
0. Les paramètres qui caractérise la diffusion a, b
et c sont des constants dans R. Remarquons que ce modèle
est stationnaire pour certains conditions sur a,b et
c, on a
· Si a = b = 0 et c = 1 ?
Processus de diffusion linéaire de type N.
· Si a = c = 0 et b = 1 2
?Processus de diffusion linéaire de type G.
· Si -a = b = 1 2 et c = 0, avec
9 ?]0,1[ ? Processus de diffusion linéaire de type B.
| 
