II-2-2 Les modèles des pseudopotentiels
Le théorème de l'annulation et les
démonstrations analytiques basées sur le pseudopotentiel de
Phillips-Kleinman servaient de base pour expliquer comment la structure
électronique d'un système réel peut être
décrite par la méthode N.F.E.M ou par un faible potentiel.
Cependant, l'approche de Phillips-Kleinman n'a pas une large application comme
méthode de calcul pour obtenir la structure de bande d'un cristal. Ce
qui fait que des modèles et des potentiels empiriques furent
utilisés pour « ajuster » les propriétés
observées et résoudre ensuite un certain nombre de
problèmes. Dans certains cas, le modèle de potentiel est
ajusté par rapport aux données atomiques expérimentales,
ensuite, il est utilisé pour le calcul de la structure de bandes d'un
solide [11].
II-2-2-a Le modèle local
Le modèle le plus simple consiste en un potentiel local
dépendant de la variable r, et pour ce fait plusieurs formes de
potentiels ont été proposées :
Le premier modèle [10] consiste en un potentiel de coulomb
à une distance large et un potentiel constant dans la région du
coeur. Une forme de ce potentiel est :
-
r r ? c
-
r
Z
(II.12)
Z e
e
v r
( )
r c
r = rc
OüZ ; est la valence atomique
r c : est le paramètre utilisé pour
ajuster les données atomiques.
Heine et Aberenkov ont introduit plus de flexibilité
pour cet ajustement par l'introduction d'un
potentiel A
considéré comme constant dans la région du coeur. Dans ce
cas, la forme du potentiel
sera :
|
Z e
|
r r
? c
r = r c
|
|
?
v r
( ) = ?? r
A
|
Enfin Aschkroft proposa une autre forme de potentiel similaire et
qui est beaucoup utilisé, c'est le potentiel des coeurs inoccupés
donné par ;
- Ze
v r
( ) = r
0
r r ? c
r = rc
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II-2-2-b Le modèle non local
De la même façon, le pseudopotentiel peut être
non local en choisissant des constantes différentes dans la
région du coeur pour chaque valeur du nombre quantique l. La
dépendance en
énergie peut être ainsi incluse en remplaçant
la constante A par A 1 ( E ) . On peut donc
écrire le pseudopotentiel non local sous la forme suivante [12] :
VNL ( r ) = Ó 1 A 1
( E )f1 ( r )p1 (II.13)
Où : A 1 ( E ) : est appelée
énergie des états profonds, c'est la constante de la
dépendance du
pseudopotentiel en énergie des états du coeur.
P1 : est l'opérateur de projection de
la 1ère composante des moments angulaires.
f1 ( r ) : est la fonction qui
présente l'effet de l'état du coeur, elle peut avoir plusieurs
formes. Parmi elles celle d'Aschroft, Heine-Abarenkov et la forme de Gauss.
v ( r , E ) = A ( E
)f ( r )p ( II.14)
Où A 1 ( r ,E ) est la
constante de la dépendance du pseudopotentiel en énergie des
états du coeur,
f1 ( r ) est la fonction simulant
les effets des états du coeur et P1 est
l'opérateur de projection de la
1ère composante du moment angulaire.
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