3.3. - Discrétisation en temps
Soit [0, T] le temps de la consolidation. Nous allons le
subdiviser en I sous-intervalles ? t i ; t i ? 1l avec i un
nombre entier positif tel que:
0 ? t 0 ? ... ? ti ? ... ? t I avec
dt ? ti ? ti ? 1
Désignons par u la surpression interstitielle au temps
t = j et utilisons le schéma implicite en temps d'Euler, on a :
Mémoire de Master 17 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
dt
? u ui?ui?1
?
?t
(3. 6)
3.4. - Résolution numérique
La consolidation de Terzaghi et ses différentes conditions
se résument comme suit :
sur ???0,H???0,T? (3. 1)
u ?u
cv ?
? u 2 ?
?2
t
Conditions aux limites:
u(0,t )?0
??u
? Conditions de Dirichlet
?
(H,t)?0
Condition initiale:
? u(z,0) ? ?Q; ?Q
étant la contrainte appliquée sur le massif de sol
Formulation variationelle
Soit v une fonction test appartenant à
V(?) , la formulation variationelle s'écrit:
?u
?t
?
d?
2u
(3. 7)
? cv
d? ?u
2
? vd?
? vd?
?
dt cv ui vd
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
ui vd ? ui vd
1 (3. 8)
d? d?
d?
? '?
dt?cv ?
(ui?v)d?? ?ui
?vd? ? ? ? ?
?ui vd ?? ?ui?1?vd? (3. 9)
? ?d? d? ? ? d? d?
'
Or ui v d ? ' ? 0
H
?'? ? ? ui v
( ) ? ?
0
d?
car v la fonction test a les mêmes conditions aux limites
que la
fonction u. Alors on a:
'
dt?cv ? ui
?vd?? ?ui'?v'd??
?ui? ?vd?
1 (3. 10)
d? d?
d?
Mémoire de Master 18 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
Détermination des matrices de rigidité et de
masse élémentaires
Soit K la matrice de rigidité ou encore la
conductivité du fluide et M la matrice de masse, notre équation
se pose également en ces termes:
dt cv ? K ?? ui ? ? M
?? ui ? ? M ?? ui ?
? ? ? ? 1 (3. 11)
Par ailleurs on exprime les fonctions u et v comme des
combinaisons linéaires des fonctions de formes c'est-à-dire:
?
?
?
u u N u N
? 1 1 2 2
?
v v N v N
? 1 1 2 2
?
(3. 12)
Ainsi nous aurons:
|
K
|
h ? 1' 1 ' '1 ? ?
N ? N N N '2
? ? ?
? ? N N N N
'2 ? '1 '2 ? '2
0 ? ?
|
(3. 13)
|
|
M
|
h ? N N N N
1 1 1 2
? ? ?
?
0 2 1 2 2
?? ? ??
N N N ? N
|
(3. 14)
|
En appliquant les résultats des fonctions des formes
que nous avons déterminées pour un élément, il
vient:
1 1 1
? ? ? ?
K ? (3. 15)
h ?? ? 1 ? 1 ??
h?2 1?
M ? (3. 16)
6 ?? 1 2 ??
L'assemblage des matrices en tenant compte des conditions aux
limites donne :
Mémoire de Master 19 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
? ?
?
?
?
1 ?
K ?h ?
?
?
?
?
? ?
. .
?1 ?2 ?1
. .
2
0 ?1
. .
. .
?
.
. .
. .
.
.
.
. .
. .
. .
.
. .
. .
. .
?
. .
. .
. .
?
?
0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
?2 ?1 0 . . . .
0 0 0 0
(3. 17)
0 0 0 0 0 0 ? 1 ?2
2 ?1
? ?
?
?
?
h ?
M ?6 ?
?
?
?
?
? ?
41 0
01 4
00 0 0 0 0 1 4
14 1
. . .
. . .
. . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
4 1
?
?
0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
0
0
0
(3. 18)
On aboutit finalement à un système
linéaire:
( ? ? ? ? ) ? ? ? ?? 1 ? ? 0?
dt ? cv K ? M ui ? M ui
? ? (3. 19)
Pour la résolution de ce système
linéaire, le premier pas de temps doit faire intervenir la condition
initiale. Il s'agira donc de déterminer u1 dans ce système car
u1_1est connu dans l'opération antérieure.
| 
