3.5. - Résolution numérique
adimensionnelle
Pour cela nous allons introduire deux paramètres dans
notre équation :
-l'épaisseur adimensionnelle Z :
z
Z ? (3. 20)
H d
Hd est la hauteur drainante. Elle correspond à la
distance maximale que doit parcourir le fluide pour atteindre une zone de
drainage. Dans le cadre de la théorie de la consolidation, elle est
égale à la demi-hauteur.
Mémoire de Master 20 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
Dans cette partie on prend 0 ? z ? H , on
résout l'équation pour cette partie et on opère par 2
symétrie pour H ? z ? H
2
-Le facteur de temps T :
|
CV t
?
TV ? H d 2
On établit l'équation adimensionnelle suivante:
|
(3. 21)
|
( , )
Z T v?u( Z ,
? z
u ( Z ,0) ? ? Q
?u T v (0, )
T v ) ?
?
?
?
? ? ? ?
2 ?T v
0
(3. 22)
?
2 u
0
? u T v
(1, )
Cette équation nous donne l'évolution de la
surpression interstitielle en fonction du facteur temps et de
l'épaisseur adimensionnelle. Les résultats que nous
établirons sont ceux de la consolidation unidimensionnelle de Terzaghi
pour toutes les épaisseurs de sols. L'équation sera
résolue une fois pour toutes. La résolution est identique
à celle établie dans la partie 3.4. On aura donc:
( ? ? ? ? ) ? ( , ) ? ? ?? 1 ( , ) ? ? 0?
d Tv K M u i Z Tv M
ui Z Tv
? ? ? ? ? (3. 23)
Les matrices [K]et [M] sont celles
déterminées plus haut. La résolution sur Matlab de cette
équation nous donne la figure 3.2:
Mémoire de Master 21 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
Fig. 3. 2:Solution de la consolidation
unidimensionnelle de Terzaghi par éléments finis
3.6. - Analyse de la résolution pour les
éléments situés aux limites perméables
En rappel la résolution par éléments
finis est une méthode qui donne une solution approchée. Son
exactitude sera donc fonction de sa concordance avec la solution exacte qui est
analytique. Mais avant, nous pouvons faire une analyse de la démarche de
cette méthode par rapport au problème physique avec ses
contraintes aux niveaux des points particuliers.
Les éléments finis à travers les
fonctions de forme procèdent par interpolation pour la
détermination de la surpression dans chaque élément. Cette
démarche se justifie par le fait que dans un élément
infiniment petit, deux valeurs infiniment proches peuvent être
liées par une relation d'interpolation.
Les conditions initiales de la consolidation unidimensionnelle
donnent:
)
?
u
0
(0,0
u (H,
(3. 24)
0) ? 0
)
?
0
A
?
??
??
u(z,
Q
La surpression interstitielle est égale à la
surcharge en tout point du sol sauf aux limites perméables. Pour les
deux éléments du maillage dont un noeud est au niveau de la
limite perméable, on a pour t = 0:
Mémoire de Master 22 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
ru
? ? u Q
2 = A
Mémoire de Master 23 Yamné
A.K. KOUAMA
UFR/SI
1 0
=
-* u(z) = AQx N2 : Cette
fonction est une droite (3. 25)
La fonction u(z) est une droite croissante pour la
méthode des éléments finis au lieu d'être une droite
constante de valeur Lq sur tout l'élément sauf au noeud
1. La représentation graphique de cet état de fait est la
suivante:
Fig. 3. 3. -Représentation de la
consolidation initiale dans un élément à la limite
perméable
Nous voyons clairement que les éléments finis
sont incapables de prendre en compte cette singularité. Une
interpolation ne peut pas définir correctement la condition initiale de
la consolidation unidimensionnelle.
On peut donc projeter que pour des petits pas de temps
c'est-à-dire pour des temps ou u(z) Lq des erreurs apparaitront
dans le calcul des surpressions interstitielles par la méthode des
éléments finis dans la zone des limites perméables. Ce
temps est une fonction des conditions de drainage et du type de sol. Avec la
discrétisation en temps ces erreurs vont diminuant.
Fig. 3. 4. -Evolution de l'erreur dans les
premiers instants
Au cours de la consolidation la surpression diminue d'abord
aux abords des limites perméables pour ensuite s'étendre aux
éléments plus loin. Donc au temps où on commence à
avoir une surpression interstitielle nulle ou presque nulle dans les
éléments proches de la limite perméable, la
singularité au niveau de la limite perméable pour les instants
initiaux disparait. En ce moment le principe de la méthode des
éléments finis se superpose au phénomène physique
réel. Cette superposition est le fruit de la discrétisation en
temps.
Fig. 3. 5. -Evolution jusqu'à
dissipation de l'erreur
En effet la discrétisation en temps permet de
réduire au fur et à mesure la singularité de la condition
initiale. Avec l'incrémentation, chaque valeur trouvée avec un
incrément dt devient la valeur de 14_1 pour le calcul de
l'incrément suivant. La condition initiale est donc utilisée pour
le premier incrément et s'efface ensuite lors du calcul, c'est la raison
pour laquelle les éléments finis finissent par se superposer au
phénomène physique.
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