III-1
Ou
W est la grandeur transportée c'est-à-dire la
variable indépendante ; ø est le coefficient de
diffusion de la variable indépendante ; Sø
représente le terme source de la grandeur
considérée.
Le premier terme à gauche de l'égalité
représente le terme entrée (ou sortie) de ø dans le
volume de contrôle V dû à la convection, le
deuxième terme à gauche de l'égalité est la
variation de ø par diffusion et le terme à droite de
l'égalité est le terme source (ou puits).
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Figure 24 : volumes finis bidimensionels
(Patankar V., 1980)
Seule cette équation (III.1) sera
discrétisée et le système d'équations aux
dérivées partielles est résolu pour chaque valeur de yr.
Elle s'écrit encore :
( ) III-2a
Le théorème d'Ostrogradski permet de
l'écrire sous la forme intégrale suivante :
? ? ( ) ? III-3b
Le tableau ci-dessous résume tous les différents
termes de l'équation de transport globale (III.1) en se
référant aux modèles mathématiques
présentés plus haut. On constate sur ce tableau cinq (5)
variables indépendantes associées à 6 équations, le
système est donc fermé grâce au modèle de turbulence
qui lui est associé et sa résolution est possible.
Tableau 4: differents termes de
l'equation de transport globale
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III.2.2 Discrétisation spatiale
Sous forme bidimensionnelle stationnaire l'équation de
transport est :
( ) III-4
Désignons par Jx et Jr, les flux totaux (de convection
et de diffusion) par unité de surface dans les directions x et r
respectivement par :
( ) III-4a
( ) III-4b
Nous pouvons écrire sous forme condense :
III-5
L'equation 3-5 est integree sur le volume de controle comme
suit:
? ? ? ? III-6
En supposant que la variable généralisée
yr varie linéairement entre les noeuds principaux dans les deux
directions, que les termes convectifs et diffusifs sont uniformes à
travers les faces correspondantes et un terme source uniforme sur le volume de
contrôle; nous pouvons intégrer séparément les
termes de l'équation de transport comme suit :
> Intégration du flux total :
? ? [ ] [ ] III-7a
Si nous posons :
[ III-7b
III-8
> Intégration du terme source :
? ? III-9
Où Syr est la valeur moyenne du terme source
sur ce volume et est le volume du volume
de contrôle. Quand la valeur moyenne du terme source
dépend de la variable dépendante, cette dépendance doit
être linéariser comme suit (Patankar V., 1980) :
Où Sc est la partie constante qui ne
dépend pas explicitement de yrp et Sp est la pente de
yrp. Il est nécessaire que le coefficient Sp soit
inférieur à zéro pour que la solution soit
numériquement stable et que la convergence soit plus rapide.
La forme linéarisée de l'équation de
transport globale (III.5) est :
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