III-11
Ou sont les flux a travers les faces Est, Ouest, Nord et Sud du
volume de
contrôle donnees par :
III-12a
( )
III- 12b
( )
( ) III-12c
III-12d
( )
Considérons par exemple l?équation de
continuité moyenne où yr =1, Syr =0 et Fyr = 0, la
forme linéarisée est :
III-13
Posons Qi (i= E, W, N, S), le débit volumique à
travers les faces du volume Nous obtenons le système suivant :
Multiplions (2) par yrP et soustrayons cette équation de
l'équation (1), nous obtenons :
( ) ( ) ( ) III-14
Les termes entre parenthèse de gauche de
l'équation (III.14) peuvent se mettre sous la forme suivante [Patankar
1980] :
III-15
Où les ai (i= E, W, N, S) sont les coefficients voisins
du point P du volume de contrôle (la notation ||A, B || désigne la
valeur maximale de A et de B ).
| | ? ?
| | ? ?
| | ? ?
| | ? ?
Les Di et Pi (i = E, W, S, N) sont les coefficients de diffusion
et les nombres de Peclet donnés par :
III-15a III-15b
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« Etude de la convection naturelle turbulente dans
une enceinte à paroi chauffé »
L'équation de continuité moyenne
discrétisée s'écrit donc finalement sous la forme
suivante:
III-16c
Où III-17d
Toutes les équations de transport, après avoir
été discrétisées, peuvent être mises sous la
forme générale linéarisée suivante :
? III-186
Où nb représente le nombre d'indices des
cellules voisines. Ce nombre dépend de la topologie du maillage (il y a
6 cellules voisines pour un maillage hexaédrique par exemple).
Cette équation est à écrire pour chaque
cellule de centre P du domaine. Le système d'EDP est transformé
en système d'équation algébrique avec des coefficients
matriciels. FLUENT résous ce système en utilisant la
méthode de résolution numérique de Gauss-Seidel.
> Schémas de discrétisation
L'approximation de la variable
généralisée øp aux interfaces du volume
de contrôle se fait avec un schéma de discrétisation
approprié. Le rôle du schéma intervient pour expliquer
comment évaluer les flux de diffusion et de convection sur les faces du
volume de contrôle après intégration. Nous ressortons ici
quelques schémas discrétisation disponibles dans le code de
calcul FLUENT. Parmi ces schémas, nous avons :
V' Le schéma aux différences centrées
(Central Difference Scheme) ;
V' Le schéma aux différences
décentrées (Upwind Scheme) ;
V' Le schéma hybride mis au point par Spalding (1972) qui
est la combinaison des deux schémas précédents
(Centré et Upwind) ;
V' Le schéma à loi de puissance (Power law Scheme)
développé par Patankar (1980) ; V' Le schéma
Exponentiel.
Ces schémas sont choisis, en fonction du
problème traité, suivant la concordance des résultats
qu'ils donnent avec les résultats physiques et la stabilité
numérique. Le schéma exponentiel par exemple requiert un temps de
calcul important, la procédure aux différences
décentrées est moins précis que celui aux
différences centrées et n'est pas adaptée aux
écoulements qui ne sont pas à convection dominée (Baliga
B. et Patankar S., 1980). Le schéma de la loi de puissance est le plus
recommandé dans la littérature car, moins coûteux en temps
de calcul. Les schémas hybrides et "loi de puissance" n'ont
été utilisés que dans le cadre de méthodes de
volumes finis classiques sur maillages structurés.
Le tableau ci après proposé par (Patankar V.,
1980) donne les expressions de la fonction A(|Pe|) relatif aux
différents schémas de discrétisation.
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Tableau 5: fonction A(|Pe|) des
schemas de discretisation,
Il ressort de ce tableau que les schémas
numériques peuvent être vus comme des choix particuliers de la
fonction A(|Pe|) de l'équation de discrétisation
générale.
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