Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

2.1.2. L'exposant critique (sa mesure) et les classes d'universalités

T >> T > T =

î

î et très petits î et augmentent î et très grands

Les spins dans le modèle d'ISING se regroupent en cluster (Région localement ordonnée de taille î^d )^16(*), î appelée « longueur de corrélation » (c'est la dimension du cluster c'est à dire du bloc de spins parallèles); les fluctuations en générale gouvernent le comportement du système près de la transition [5], à l'approche de la température critique (notée), il peut exister un laps de temps ô appelé « temps de corrélation »^17(*) qui diverge avec î. Ce phénomène peut être schématisé tel à la figure ci-contre :

Figure 2.1 : schématisation des regroupements de spin en fonction de la température

Pour l'étude des phénomènes critiques, il est approprié de travailler avec une nouvelle variable appelée « température réduite ». Les grandeurs : le paramètre d'ordre, la chaleur spécifique, la longueur de corrélation etc. ... peuvent être décrites par une loi en puissance `t'.

Où (2.1).

À l'approche de la transition de phase (t ? 0 quand ô > ), la divergence de la longueur de corrélation est proportionnelle à la température réduite par la relation. (2.2).

La quantité positive non entière í appelée « exposant critique » est définie par [5] :

(2.3).

Remarquons que la température t peut être prise des deux côtés de (à gauche ou à droite du nombre réel) pour obtenir une même valeur de î d'où la valeur absolue sur l'équation (2.2).

Dans les simulations de Monte Carlo, í est indépendant de l'algorithme utilisé, mais dépend de la matrice utilisée : í a différentes valeurs qu'on soit en dimension 2 ou 3 [5].

Par ailleurs, il existe d'autres exposants critiques, plus particulièrement ceux qui nous intéressent proviennent de la susceptibilité et de la chaleur spécifique qui découlent directement de la divergence de la longueur de corrélation. De même que (2.2), l'on a :

et (2.4)

2.1.2.1. Notion d'universalité

L'universalité d'une quantité repose sur son invariance par rapport aux diverses transformations dans lesquelles elle intervient. Ainsi, [5] l'hypothèse d'universalité proposée en 1971 par L. Kadanoff et confirmée par la méthode du groupe de renormalisation stipule qu'une quantité est dite « universelle » si elle ne dépend que de certains caractéristiques qualitatives essentielles du système qui sont :

La dimension de l'espace physique (d),

La dimensionnalité du paramètre d'ordre (n),

La portée d'interaction et leurs anisotropies,

La symétrie du système.

Ces facteurs définissent ainsi une classe d'universalité, chacune caractérisée par un ensemble d'exposant critique. En l'absence d'un champ extérieur, nous pouvons exprimer le comportement critique des grandeurs que nous manipulons dans le tableau ci-dessous [5]:

Tableau 2.1 : Expressions de quelques grandeurs physiques en fonction de leurs exposants critiques

Grandeur physique	Exposant	Définitions	Conditions
Chaleur spécifique	á á'	C t^-á C (-t^-á)	t > 0 t > 0
Paramètre d'ordre	â	(-t^-â)	t < 0
Susceptibilité isotherme	ã ã	÷T t^-ã ÷T (-t^-ã)	t > 0 t < 0
Longueur de corrélation	í í'	î t^-í î (-t^-í)	t > 0 t < 0
Fonction de corrélation		g(R) R^-(d-2+)	t = 0

Pour un système en dimension 2 (d =2), on peut citer dans les cas des interactions à courtes portées les 3 classes fondamentales représentées par les modèles d'Ising (n = 1), XY (n = 2) et Heisemberg (n= 3). En généralisation, le tableau (2.2) suivant regroupe l'essentiel des classes d'universalité avec des exemples à l'appui lorsqu'ils existent [12].

Tableau 2.2 : Classe d'universalité et modèles associés

Classe d'universalité		Modèle théorique	Système physique	Paramètre d'ordre
d = 2	n = 1	Modèle d'Ising à deux dimensions	Films absorbés	Densité de surface
	n = 2	Modèle XY à deux dimensions	Films d'Hélium 4	Concentration de la phase superfluide
	n = 3	Modèle d'Heisenberg à deux dimensions		Aimantation
d > 2	n =	Modèles sphériques	Aucun
d = 3	n = 0	Marche aléatoire sans croisement	Configuration des polymères à longue chaîne	Densité des extrémités des chaînes
	n = 1	Modèle d'Ising à trois dimensions	Aimant uni-axial	Aimantation
			Fluide aux voisinages d'un point critique	Différence de densité entre phase
			Liquide au voisinage du point de mélange	Différence de concentration
			Alliage d'une transition ordre - désordre	Différence de concentration
	n = 2	Modèle XY à trois dimensions	Aimant plan	Aimantation
			Hélium 4 près de la transition super fluide	Concentration de la phase superfluide
	n = 3	Modèle d'Heisenberg à trois dimensions.	Aimant isotrope	Aimantation
d 4	n = -2		Aucun
	n = 32	Chromodynamique quantité	Quarks liés dans les protons, les neutrons, etc ...

* ¹⁶ d est la dimension de l'espace. Il est 3 dans ce cas.

* ¹⁷ ô est la durée de vie moyenne des clusters.