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Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

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par Rostand Choisy TCHUENTE
Université de Douala - Cameroun - Maîtrise / Master en Physique (Physique de la matière condensée) 2006
  

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2.1.2.2. Fluctuations critiques et ralentissement critique

Lorsque nous approchons le point critique, ils se présentent des fluctuations plus grandes, observées sur nos grandeurs habituelles, c'est le fait des phénomènes critiques. Reprenons l'exemple de l'eau présenté au paragraphe sur les transitions de phases ; au cours d'une transition critique, les fluctuations spatiales de certaines grandeurs thermodynamiques possèdent toutes les échelles de longueurs possibles. Ce phénomène est relativement inhabituel pour le physicien qui généralement se concentre sur une échelle de longueur donnée pour résoudre un problème.

Ces fluctuations ralentissent la marche du processus Markovien et par là induisent un ralentissement du processus. Il est dit critique à ces températures environnent. Le temps de corrélation grandi dangereusement, nous le retrouverons par les corrélations existant entre états.

2.1.2.3. Fonction d'auto corrélation de l'aimantation

Dans une simulation, il est en général beaucoup plus facile de calculer la fonction de corrélation telle définie au 1er chapitre (équations 1.26 et 1.27 du §A.1.2) dès lors que l'on se place à l'état d'équilibre. Lorsqu'on opère des mesures d'aimantation ou d'énergie sur divers systèmes de même dimension, l'on constate qu'ils arrivent presque simultanément à la transition. Ce qui nous permet de penser qu'il existe effectivement des corrélations qui s'établissent entre les états du système. La fonction d'auto corrélation nous permettra notamment de déterminer le temps de corrélation. Considérons le modèle d'Ising avec lequel l'on détermine l'aimantation m, nous avons présenté l'expression de la susceptibilité (1.26) & (1.27) puis la fonction de corrélation (1.33), ce qui nous permet en posant que m(t) est l'aimantation instantanée au temps t, de décrire une fonction d'auto corrélation de l'aimantation par l'équation (2.5) et sous sa forme discrète, l'équation (2.6)

(2.5)

(2.6)

La fonction d'auto corrélation donne la corrélation entres deux instants distincts. Si nous intégrons l'équation (2.5) précédente, sera non nulle si en moyenne les fluctuations sont corrélées et nulle dans le cas contraire. Globalement, l'on obtient une échelle typique de mesure de la fonction d'auto corrélation. Après un temps long, elle tendra vers une valeur exponentielle définie par : (2.7)

On constate que le temps de corrélation noté ô diminue de de sa valeur maximale à t = 0.

Par ailleurs sur l'expression discrète (qu'on peut compiler sur un ordinateur), lorsque t = tmax, la limite supérieure devient petite et nous intégrerons donc sur un temps vraiment court pour avoir le résultat escompté. Ceci nous informe donc qu'à cause du hasard des fluctuations, l'erreur commise sur le temps de corrélation devient grande. Il faudra donc simuler pendant un temps grand pour réduire cet inconvénient.

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