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Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

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par Rostand Choisy TCHUENTE
Université de Douala - Cameroun - Maîtrise / Master en Physique (Physique de la matière condensée) 2006
  

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3.4. Etude de la transition de phase.

Afin de nous assurer que notre programme fonctionne bien, nous l'avons au préalable testé sur un petit réseau de 5x5 spins (soit 25 spins ou 225 états possibles) dans la gamme de températures allant de 0.2K à 5K. Dans ces conditions, toutes les simulations à une température donnée ne prenaient que quelques 2 à 3 secondes.

L'objectif étant de tester la validité de notre programme, nous n'avons ni déterminé la configuration à l'équilibre, ni le temps de corrélation entre 2 mesures consécutives. Pour chaque température, nous avons simplement fait tourné le programme pendant un temps de 20000 MCS/Site et effectué les mesures à partir de t = 2000 MCS/Site et par intervalle de Ät= 5 MCS/Site.

Les figures 3.7 et 3.8 ci-dessous montrent les résultats normalisés à l'unité ( 1 ) (carrés et cercles) de notre simulation et ceux (traits pleins) obtenus par un calcul exact à l'aide de la fonction de partition

est la somme sur les premiers voisins.

Figure 3.7 : Aimantation (carrés) et susceptibilité magnétique (cercles) du système 5x5 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les points (carrés et cercles) sont les résultats de la simulation et les traits, le calcul exacte à l'aide de la fonction de partition.

Au vu de ces résultats, nous pouvons conclure sans ambiguïté que notre programme fait bien son travail, et commencer dès lors l'étude de la transition de phase Ferro ? Para.

3.4.1. Transition de phase Ferro?Para.

Une transition de phase rappelons le, est un processus qui fait passer le système d'une phase (de symétrie ou de configuration donnée) vers une autre phase (de symétrie ou de configuration différente de la phase de départ). Ce processus est gouverné par une grandeur appelée paramètre d'ordre noté ç. Ce paramètre d'ordre est non nul dans la phase ordonnée et nul dans la phase désordonnée. Pour les transitions de phase magnétique, le paramètre d'ordre est l'aimantation du système noté â. A la transition, la susceptibilité magnétique du système et la chaleur spécifique à volume constant ont des comportements singuliers. Elles divergent à la transition. Alors que l'aimantation passera continûment d'une phase à une autre (transition du 2nd ordre) ou bien passera directement d'une phase à une autre (transition du 1er ordre).

Pour étudier cette transition, nous avons considéré un système de 100 x 100 spins à J = 1 et nous avons effectué nos mesures dans la gamme de température allant de 0,2K à 5K et par pas de 0,1. Pour chaque température, le système est d'abord amené à l'équilibre et les mesures sont effectuées par intervalle de temps Ät = ô déterminé précédemment.

Afin d'éviter des mesures dans les zones de saturation où les variations des grandeurs physiques sont faibles et conduisent à des résultats peu précis, Newman et Bakerna [2] proposent de commencer les mesures dès que est le temps d'équilibre en MCS/Site.

Nous avons considéré pour nos simulations deux configurations initiales de notre système de spins :

o Une configuration dans laquelle tous les spins sont alignés.

(C'est à dire à la température T = 0K) : Transitions Ferro?Para,

o Une configuration dans laquelle tous les spins sont aléatoirement orientés Up ou Down.

(C'est à dire la température est infinie) : Transition Para?Ferro.

A chaque température et pour toute les mesures, nous avons alors pris le temps d'équilibre = 1000 MCS/Site et le temps de corrélation ô = 10 MCS/Site, avec un temps d'observation global de 2000 MCS/Site. C'est à dire =100 mesures indépendantes.

Les résultats normalisés à l'unité ( 1 ) sont représentés sur la figure 3.8 pour l'aimantation moyenne par spin du système, sur la figure 3.9 pour la chaleur spécifique moyenne à volume constant et sur la figure 3.10 pour la susceptibilité magnétique moyenne du système.

Figure 3.8 : Aimantation moyenne par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro

Le trait continu n'est juste qu'un guide pour l'oeil.

Figure 3.9 : Chaleur spécifique moyenne à volume constant par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro

Le trait continu n'est juste qu'un guide pour l'oeil.

Figure 3.10 : Susceptibilité magnétique moyenne par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro

Le trait continu n'est juste qu'un guide pour l'oeil.

Nous faisons le constat direct que les résultats sont meilleurs pour la transition Para ? Ferro. Par ailleurs, aucune hystérésis thermique n'a été observée durant les deux cycles, et la transition de phase se produit à =2.3K appelée température critique -la chaleur spécifique et la susceptibilité magnétique divergent toutes les deux à =2.3K, caractéristique d'un changement de phase- très proche de la valeur théorique exacte =2.2692K déterminée par Onsager's. De même, les résultats de la figure 3.8 montrent clairement qu'au dessus de la zone critique, l'aimantation moyenne par spin devient petite et tend vers zéro (0) aux grandes températures alors quelle tend vers un (1) en dessous de cette zone, ce qui est caractéristique du paramètre d'ordre d'une transition de phase.

Ces résultats permettent également de conclure en l'occurrence pour ce qui est de la chaleur spécifique et de la susceptibilité que les fluctuations critiques ne sont pas maîtrisées, problème lié à l'algorithme de Métropolis et résolu par l'algorithme de Wolff.

En effet, lorsqu'on se rapproche de la transition de phase (à partir des hautes températures), les spins initialement désordonnés et non corrélés auront tendance (grâce aux interactions entre eux) à se regrouper en blocs de même orientation, formant ainsi des clusters dont la taille î croît lorsque T? et diverge même à la transition.

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