Formulation mathématique
2-1) Introduction :
La plupart des écoulements d'importance pratique
existent en régime turbulent. Divers méthodes sont alors
appliquées aux écoulements turbulents et correspondent à
différents niveaux de description ayant chacun leurs performances et
leurs limitations spécifiques. Parmi la variété des
modèles de turbulence et des approches possibles, l'utilisation sera
souvent amenée à effectuer un choix dicté le plus souvent
par la nature du problème physique à résoudre et les
réponses recherchées. Dans le présent travail, nous allons
tenter d'appliquer deux modèles connus dans le domaine de turbulence qui
sont le modèle (RANS-k-å) et le modèle aux tensions de
Reynolds appelé aussi modèle (RSM) pour l'étude de
l'écoulement tridimensionnelle turbulent dans un cyclone
séparateur. Ce dernier, donne une description plus réaliste des
phénomènes d'interaction turbulente en suivant l'évolution
de chaque paramètre turbulent par des équations de transport.
2-2) Données expérimentales :
Nous savons d'avance que le comportement de
l'écoulement est de nature turbulent dans la plupart des cyclones
industriels. Essayons alors, de décrire la turbulence vue par Reynolds,
elle consiste à observer l'écoulement d'un liquide dans un tube
transparent dont la paroi intérieure est peu rugueuse. Le tube est
alimenté par un réservoir à niveau constant, pour
visualiser la nature de l'écoulement, on y introduit un colorant liquide
au moyen d'une pipette fine placée à l'entrée du tube,
aussi rigoureusement que possible dans l'axe de celui-ci :
Régime laminaire : pour des vitesses faibles, le filet
coloré issu de la pipette est parfaitement rectiligne jusqu'à la
sortie du tube. On n'observe aucun mélange entre le colorant et le
liquide (écoulement doux)
Régime turbulent : A partir d'une certaine valeur de la
vitesse U, le filet coloré se met à onduler et s'épaissit
progressivement vers l'aval de l'écoulement. Lorsqu'on augmente encore
la vitesse, les ondulations s'amplifie et il apparaît en aval une zone de
mélange ou le colorant se disperse totalement dans
l'écoulement.
Ecoulement laminaire
U
Ecoulement turbulent
Figure (2-1)- régime d'écoulement dans une
canalisation
Plaçons, maintenant par exemple dans
l'écoulement une sonde fixe mesurant la composante locale
instantanée Ut de la vitesse, et supposons que les conditions aux
limites soient stationnaires. Un enregistrement de Ut en fonction du temps
présentera l'aspect schématisé sur la figure (2-2) : des
oscillations irrégulières, mais qui se produisent autour d'une
valeur moyenne U de Ut.
Ut
u'(+)
.t t+T
Figure (2-2)-Enregistrement de vitesse en
régime turbulent
Plus précisément, si l'on calcule entre deux
instant t et t +T la fonction :
U 1 (2-1)
= ? Utdt
t
On constate que sa valeur est indépendante de t et de T,
pourvu que l'intervalle [t, t+T]
contienne un assez grand nombre
d'évènements. Par contre, en modifiant les conditions aux
limites de telle sorte que l'écoulement devienne
laminaire, l'enregistrement de Ut sera pratiquement une droite Ut = U = cte.
NB : les mêmes constatations pourraient être faites
en mesurant les autres composantes instantanées Vt et Wt de la vitesse,
la température ou pression.
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