2-3) Equations de transport :
Dans ce chapitre, on se limite aux équations valables
pour un fluide incompressible Newtonien (air). Afin, d'expliciter clairement
chaque terme, on exprimera les équations dans un système de
coordonnées cartésien. Les équations qui régissent
l'écoulement sont :
2-3-1) Equation de continuité :
? ñ (2-1)
?
+ ( ) = 0
ñ U i
?
2-3-2) Equations de quantité de mouvement (de
Navier Stokes):
La loi de conservation de quantité de mouvement
traduite par les équations de Navier Stokes exprime tout simplement la
loi fondamentale de la dynamique pour un fluide Newtonien. Les équations
de quantité de mouvement écrites suivants xi (i =1, 2,3) sont
:
|
forced inertie
'
6 44 7 44 8
|
force appliquées
6 444 7 444 8
|
? U ? U 1 ? P ? ? U
i i i
+ U + ( )
= - í
j
t ? x ñ ? x x ? x
? j
j i j
2.4) Moyennes
2-4-1) La moyenne d'ensemble :
On réalise N expériences indépendantes
portant sur le même écoulement.
On enregistre à la iième
expérience la valeur d'une même quantité à la
même position et
au bout du même temps, soit( , )
f ( i ) x t .
La moyenne d'ensemble de la quantité f à
la position x et l'instant t est définie par :
1
f x t ( , )
( , ) ( ) (2-3)
= ? f i x t N i
2-4-2) La moyenne temporelle :
La moyenne temporelle est définie pour une seule
expérience, à une seule position, l'écoulement
étant stationnaire sur le temps t.
t
? U x dt i ( )
j
0
t? 8
|
|
1
t
|
t
|
(2-4)
|
|
P
|
lim
|
|
? P dt
.
0
|
|
t? 8
2-5) Les équations de Reynolds
2-5-1) Décomposition statistique
Pour résoudre ce système une approche
statistique est utilisée. Les grandeurs caractéristiques
instantanées de l'écoulement turbulent seront
décomposées selon les règles de Reynolds comme suit : le
premier représente le mouvement moyen et le second le mouvement
fluctuant, soient :
Ui U i u i u
= + =
, ' 0
(2-5a)
En général, la quantité f(x,t) est
décomposée en deux parties distinctes
f est la partie moyenne (d'ensemble) (2-5b)
f ' est la partie fluctuante
Remarque : la partie fluctuante est centrée 0.
f ' = ( 0
u ' = , voir figure-(2-2))
2-5-2) Règles de Reynolds
En utilisant les règles dites "règles de Reynolds",
Hinze (1975) et qui sont les suivantes:
fö f .ö
f ö . f . ö + f
'ö ' , f ö ' ' (nouvelle variable du
problème)
? x ? x
2-5-3) Les tensions de Reynolds :
Le formalisme des règles de Reynolds conduit en prenant la
moyenne de chaque équation aux équations de Reynolds.
? ? 1 ? ? ?
( ' ) ( ' ) ( ' )
U u U u
+ + + U u
+ = - ( ' ) ( ( '
P p
+ + í U u
+
i j i i
j i i
? t ? x ñ ? x ? x
x
?
j i j i
On moyenne ensuite ces équations et après
réarrangement, on retrouve l'équation de continuité et
celles de Navier-Stokes moyennées.
0 , (équation du champ moyen) (2-8)
|
' '
|
|
|
Les termes
|
ui uj donnent naissance aux tensions de Reynolds. Ils
proviennent de la non
|
linéarité des équations de Navier Stokes
et s'interprètent comme des contraintes. Le système (2-7) et
(2-8) comporte plus d'inconnues que d'équations, c'est un système
ouvert. Le problème qui se pose à ce stade est le problème
de fermeture. On a 4 équations au total dont 3 pour la quantité
de mouvement et 1 pour la continuité mais le nombre d'inconnues est
maintenant égal à 10 ! (U i
,i= 1,2,3,p et6u' i u' j ) ;
d'où la nécessité de la modélisation des
équations de Reynolds. Pour cela, beaucoup de chercheurs se sont
investis dans le domaine et plusieurs contributions de modèles de
résolution ont été proposées. Parmi ces
modèles on peut citer deux modèles les plus utilisés qui
sont le modèle (k-å) et le modèle des contraintes de
Reynolds (appelé aussi RSM).
Le tenseur de Reynolds est alors défini par la matrice
suivante :
?u u u u u u
' ' ' ' ' ' ?
1 1 1 2 1 3
? ?
Rij ñ
= -u u u u u u (2-10)
? 2 1 2 2 2 3
' ' ' ' ' ' ?
? ' ' ' ' ' ' ?
?u u u u u u
3 1 3 2 3 3 ?
2-5-4)
Equations de transport aux tensions de Reynolds :
Les équations utilisées sont les équations
(2-6) et (2-7) dans lesquelles on a introduit la décomposition de
Reynolds. Reprenons l'équation de quantité de mouvement :
Ce terme ne fait intervenir que le gradient de vitesse moyenne et
le tenseur de Reynolds qui sont les inconnues principales du
problème.
2-6-2) Taux de dissipation visqueuse :
2
Ce terme de dissipation est pris égal à , ,
åäi j où å est le taux de
dissipation de l'énergie
3
cinétique de turbulence. La viscosité du fluide
dissipe l'énergie de turbulence en agissant sur les plus petits
tourbillons (échelle Kolmogorov) dont le comportement est en moyenne
isotrope. On en déduit que, de manière approchée, les taux
de dissipation des contraintes
normales u'i 2 sont égaux entre eux et que ceux
des contraintes u' i u' j avec i?j sont nuls.
2-6-3) Corrélation pression-taux de
déformation :
p ' u ' '
? ? ? u ?
, ñ
(2-13c)
i j
? = ?? + ??
i j x
?
? ? x j i ?
Il contribue à un échange entre les composantes (
2
u 1 ' , u ' , u ' ) sans modifier
leur
2 2
2 3
somme et, pour cette raison, on dit qu'il s'agit d'un terme de
redistribution.
Ce terme se compose de deux parties d'après Rodi (1980) ou
Schiestel (1993) on a :
öij , 1 : étant engendré par des
interactions purement turbulentes, öij , 2 par des interactions
entre
turbulence et gradient de vitesse moyenne, sont
généralement modélisés séparément,
d'après la proposition de Rotta (1961) :
å 2 ?
ö 3
ij C i j ä ij
, 1 1 ' '
= - ? u u - k
?? ?? , où C1= 1.5 ; ce terme favorise le retour à
l'isotropie. En fait, il
k
est proportionnel à l'anisotropie de la turbulence. Il
est positif (donc une source) dans
|
2
l'équation de 2
ui ' si 2
ui '< k
3
|
2
. Il est négatif (donc un puits) si 2
ui ' > k
3
|
. C'est en fait un
|
terme qui tend à redistribuer l'énergie turbulente
entre les composantes normales 2
ui ' .
La deuxième partie est modélisée
d'après Launder et Rodi (1975) :
ö ij = - ã ? P i j - 3
ä ij P
, 2 , ; avec ã = 0.6
?? ??
Ce terme est aussi redistributif car sa trace est nulle.
öij , 2 traduisant une interaction entre la
turbulence et les
gradients de vitesse moyenne, est analogue à öij , 1 : il
est proportionnel à
l'anisotropie du taux de production de u' i u'
j .
Pour tenir compte de l'effet de la paroi sur la turbulence le
terme de corrélation pression-taux déformation utilisé
dans le logiciel Fluent est supposé égal à :
Où öij , w est appelé terme
de réflection de la paroi, il est responsable de l'amortissement de la
contrainte normale prés de la paroi et perpendiculaire à
celle-ci. Il est modélisé comme suit :
2 , 2 , 2
( ö ä ö
km k m ij ij j k
n n n n
- -
2
Où C'1= 0.5, C'2= 0.3, nk est la composante xk du vecteur
unitaire normal à la paroi, yp est la distance normale à la
paroi, Cl C u 4 / ê , où C u 0 . 09
et ê
= 3 = est la constante de Von Karman
égale à 0.4187.
2-6-4) terme de transport diffusif :
Le deuxième terme (diffusion de u' i u'
j par interaction moléculaire) est négligeable aux
grands nombres de Reynolds. Aussi, le troisième terme
diffusif par la fluctuation de pression est considéré
négligé dans la plupart des travaux disponibles dans la
littérature. Pour la triple corrélation des fluctuations de
vitesse, Daly et Harlow (1970) ont proposé la relation suivante :
Les indices ijk ne présentent aucune symétrie. Shir
(1973) a apporté une expression plus simplifiée en employant un
coefficient de transport isotrope :
u u u
' ' '
i j k
k u u
2 ' '
? i j
å ?xk
2-7) Modèle (k-å) :
C'est un modèle à deux équations de
transport pour deux paramètres de turbulence proposé par Jones et
Launder (1972) qui se base sur le concept de Boussinesq (1877) utilisant
l'analogie entre l'échange de quantité de mouvement par
interaction moléculaire à l'échelle microscopique
(contraintes visqueuses) et l'échange de quantité de mouvement
par la turbulence à l'échelle macroscopique (contraintes de
Reynolds).
2-7-1) Concept de Boussinesq :
? U ' ' ?
? ? U 2
' ' -
j
i
- =
u u í ? + ? k ä (2-14)
i j t ij
? ? x ?x ? 3
j i
? ?
L'idée du modèle k-å est que l'on peut
construire à partir de ces quantités une « viscosité
turbulente propre à l'écoulement », où la
viscosité turbulente est donnée par la relation suivante :
í t = Cu (k2
å ) ; (2-15)
Avec u t =í t ñ viscosité
dynamique turbulente
L'expérience montre que cette relation est bien
vérifiée pour des écoulements à grand nombre de
Reynolds à condition d'avoir une turbulence homogène.
Cu : est un coefficient sans dimension qui doit
être évalué expérimentalement
k : est l'énergie cinétique de turbulence
défini par :
1 2
1
' 2= u + u + u
( ' ' '
2 2
i 1 2 3
2 2
å : Le taux de dissipation de l'énergie
cinétique turbulente k donné par la relation suivante :
Ce terme de dissipation qui apparaît dans
l'équation de l'énergie cinétique de turbulence
reste
à déterminer. L'échelle typique de longueur des
grosses structures de la turbulence L est
3
déduite de : k / L
å = .
2
| 
