Memoire Online - Mise au point du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD)

Il est important que le spécimen fabriqué d'un matériau particulier contienne les unités multiples de sa structure répétitive pour représenter les propriétés en bloc .Cette condition est importante dans le cas des matériaux polycristallins de grand grain, composites renforcés par des fibres, et matériaux cellulaires. La structure des matériaux bruts nécessite souvent un plus grand diamètre de la barre (75-100 mm de diamètre est exigée pour tester le béton). Les matériaux fragiles, comme les céramiques, exigent une conception spéciale du spécimen pour assurer l'uniformité de contrainte avant la rupture. Couque et autres [64] ont utilisé des spécimens coniques avec anneaux chanfreinés pour supprimer se division axial en cas des composites L'utilisation des sections non-uniformes le long du spécimen. La longueur rend la réduction de données plus complexe La tolérance sur la géométrie du spécimen est importante pour assurer une déformation uniforme. Gray III [61] a mentionné que les faces de chargement du spécimen doivent être parallèles avec une tolérance de 0.01 millimètre.

C'est bien accepté dans la communauté de recherche de la barre d'Hopkinson [61] que les méthodes expérimentales de BPHD et l'analyse des données de 1D sont généralement valides pour les métaux élastoplastiques qui satisfont les conditions mentionnées dans la section, approches de validité de l'essai BPHD. Cependant, des difficultés additionnelles surgissent dans le cas des matériaux doux et durs, qui incluent toutes sortes de matériaux technologiques autres que les métaux élastoplastiques. Le manuel d'ASM [61] consacre deux

sections séparées à l'essai BPHD; une pour les matériaux doux [24] et l'autre pour les céramiques [63]. On doit lire ces sections avant de les examiner.

Les matériaux doux incluent une grande variété de matériaux polymères, mousses des métaux et des polymères, et des matériaux granulaires. Sous conditions d'essai de BPHD, Cette classe de matériaux est caractérisée par leurs très faibles impédances acoustiques. Elle génère des impulsions transmises très faibles/faibles si une barre traditionnelle en acier avec un gain élevé est utilisée. Des chercheurs ont utilisé des barres de faible impédance (barres en titanium, aluminium et magnésium [65, 66]) où de bons signaux de transmission peuvent être obtenus. D'autres ont utilisé des barres polymères [67-69] (PMMA, PC) pour tester des matériaux doux. L'utilisation d'une barre polymère exige des analyses additionnelles du comportement viscoélastique de la barre. Elle ajoute plus de complexité en comparaison avec les barres métalliques de faible impédance. En plus des barres pleines métalliques et polymères de faible impédance, Chen et autres [70] ont utilisé une barre sortante creuse en aluminium pour obtenir un rapport signal sur bruit mieux que pour les barres pleines. L'issue principale dans l'essai des matériaux doux est d'obtenir une bonne impulsion transmise, ce qui peut être réalisé par l'utilisation des barres de faible impédance. Cependant, toutes les approches d'équilibre de contrainte, uniforme et contrainte uniaxiale, effets d'inertie et de frottement, et conditions de dispersion doivent être satisfaites pour une expérience valide de BPHD.

La faible vitesse de l'onde dans les matériaux doux fait le temps de passage dans le spécimen beaucoup plus long que dans les matériaux métalliques. Ainsi, un spécimen mince est nécessaire pour satisfaire la condition d'équilibre de contrainte. D'une part, il est trouvé que le rapport _LS/DS dépend fortement du comportement contrainte-déformation des matériaux doux [24]. Chen et autres [70] ont observé une atténuation substantielle de l'onde dans des échantillons épais en caoutchouc RTV630 (0.25') par rapport aux échantillons minces (0.06'). Selon la température et le matériau du spécimen, ils suggèrent qu'un rapport _LS/DS de 0.25- 0.50 peut être utilisé pour réduire l'atténuation.

A raison de la nature viscoélastique de quelques polymères et composites polymères à la température ambiante, une procédure spéciale est adoptée au Laboratoire National de Los Alamos pour usiner des spécimens de BPHD à surfaces de chargement parallèles avec une tolérance de 0.03 mm [24]. Le spécimen est refroidi à l'azote liquide au-dessous de sa température de transition vitreuse. Ensuite, il est usiné dans son état durci; et lentement réchauffé de nouveau à la température ambiante.

Gray III [61] a suggéré qu'une analyse par éléments finis de l'expérience de BPHD puisse être utile en réduisant les données expérimentales avec confiance, en concevant

l'expérience de BPHD, et en utilisant des techniques expérimentales de la barre non standard de Hopkinson. Essai de BPHD des matériaux poreux et granulaires exige des outils diagnostiques additionnels du spécimen, tels que la photographie ultrarapide et l'analyse lagrangienne couplée [61].

L'analyse de la dispersion et de l'atténuation des ondes est généralement faite par des méthodes spectrales. Une explication détaillée du changement en domaine fréquentiel et de la manière de propagation des ondes est donnée ici. Cette compréhension est fondamentale lors de l'analyse de la propagation d'onde dans un milieu.

La transformée de Fourier introduit la notion de spectre. C'est la caractéristique fréquentielle d'un signal. Ce dernier peut être défini dans deux espaces, soit temporel ou fréquentiel. L'analyse spectrale d'une onde périodique complexe peut être représentée par la superposition d'une série de sinusoïdes de fréquences reliées harmoniquement [29]. L'équation générale pour une sinusoïde harmonique simple est:

Où a₀ est l'excentrée, r₁ est l'amplitude, ù₀ est une fréquence angulaire qui décrit la nature
périodique, et è₁ est l'angle de phase ou le déphasage de l'onde. L'angle de phase décrit la

quantité de déphasage le long de l'axe de temps de l'onde. En appliquant l'identité trigonométrique:

Par conséquent, un signal peut être représenté par une série de Fourier continue écrite comme:

Avec:

ù 0 =

2ð

(3.7)

ù₀ est la fréquence fondamentale et k est un nombre entier. Les multiples de fréquence (kù₀)

sont connus comme harmoniques. Une fonction de période T dans le domaine temporel peut
donc être liée au spectre de composantes (a_k et b_k) dans le domaine fréquentiel. Les figures

III.1a, III.1b et III.1c illustrent comment une onde carrée peut être décomposée en une série
d'ondes cosinusoïdales. Si assez de termes sont inclus, alors la superposition de toutes les

En plus de l'amplitude de chacune des composantes de la série de Fourier, un angle de

phase correspondant doit également exister. Les spectres d'amplitude et de phase sont nécessaires pour reconstruire l'onde dans le domaine temporel. Pour l'exemple de l'onde carrée, les spectres d'amplitude et de phase sont montrés sur les figures III.2a et III.2b respectivement. En analysant les spectres d'amplitude et de phase un plus grand aperçu des propriétés de l'onde peut être eu.

L'analyse ci-dessus a été faite pour un signal périodique ou répétitif. Cependant, c'est, impraticable pour analyser la propagation de l'onde puisqu'une onde de contrainte est apériodique. Pour l'analyse des signaux apériodiques, une alternative à la série de Fourier a été développée. Une transformée de Fourier paire permet la transformation d'un signal apériodique au domaine fréquentiel et vice-versa. La base de la transformée de Fourier est l'intégrale de Fourier qui est donnée par:

Où F	est la transformée de Fourier continue (TFC), ù₀ est définie avant et i est un nombre

complexe ( -1). L'intégrale de Fourier est dérivée des séries de Fourier dans sa forme

exponentielle en appliquant les identités d'Euler. L'application des limites infinies permet la définition d'un signal apériodique. En d'autres termes, lorsque la période devient infinie, le signal ne se répète jamais, devenant apériodique. La deuxième partie de la transformée de Fourier paire est la transformée inverse qui est donnée par :

Le symbole ~ indique le domaine de fréquence d'une fonction. F

a les composantes réel

et imaginaire qui sont liées respectivement aux termes a_K et b_K de la série de Fourier. Pour la
plupart des cas, la fonction f(t) n'est pas connue analytiquement. Normalement le signal est

connu en termes du signal discret mesuré par un système d'acquisition de données. Pour ce cas, la transformée de Fourier discrète (TFD) a été développée. La TFC écrite en termes des échantillons (n) donne la transformée paire TFD qui s'exprime par :

Bien que c'est la forme la plus pratique de la transformée de Fourier, elle exige 2

N opérations complexes ce qui la rend impraticable manuellement et intimide pour le calcul à l'aide des ordinateurs. Pour alléger une partie du fardeau de calcul, des sous-programmes de la transformée de Fourier rapide (FFT) ont été développés. La plupart des sous-programmes de FFT réduit 2

N opérations à N log₂ (N) opérations, ce qui permet un calcul plus efficace des

coefficients de Fourier. Le lecteur est référé à Press et autres [30] pour une description détaillée des sous-programmes de FFT.

F k

a une partie réelle et une partie imaginaire. Alors, il peut être exprimé en coordonnées

rectangulaires et polaires. En forme rectangulaire, F_k

représente les coefficients de la série de

Fourier. La forme polaire de F_k

est liée à la forme rectangulaire par:

r_k est le module et è_k est l'argument (l'angle de phase). Bien que la plupart des routines

FFT retournent les résultats en forme rectangulaire, une meilleure compréhension des propriétés de l'onde est atteinte avec la forme polaire. Quelques considérations spéciales doivent être prises en considération lorsqu'on passe de la forme rectangulaire à la forme polaire. Lors de la détermination de l'angle de phase par la fonction arctan, on doit faire attention que l'angle a été ajusté à son quart de cercle. La plupart des programmes mathématiques supposent que l'angle se trouve dans le premier quart de cercle et ainsi un certain ajustement est nécessaire. L'angle de phase devrait se situer dans l'intervalle -ð = è = ð. Aussi bien, les angles de phase doivent être redéployés "Unwrapped". En redéployant les spectres de phase, une fonction continue est obtenue en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 2ð quand les sauts absolus entre les spectres consécutifs de phase sont plus grands que de ð radians (La figure III.3). Cette procédure compte sur le déphasage relatif à la première composante ou au terme DC. Le terme DC se produit quand n = 0 et représente l'aire sous la fonction de temps.

Un des aspects les plus utiles de la transformée de Fourier est la capacité d'analyser et de prévoir comment les ondes propageront. Quand une onde propage le long d'une tige, essentiellement elle est décalée dans le temps. Si une onde carrée simple est symétrique par rapport le temps zéro, il peut être vu que la partie imaginaire de la transformée est zéro et qu'il n'y a aucun déphasage. Si l'onde est déplacée le long de l'axe de temps, la transformée aura les deux parties; réelle et imaginaire. La partie réelle est une fonction paire tandis que la partie imaginaire est une fonction impaire. La figure III.4 montre ces relations pour une impulsion carrée en utilisant le TFC. En termes de coordonnées polaires, les amplitudes des impulsions originale et décalée sont identiques; la seule différence est celle de la phase. Ceci indique qu'une variation dans le temps correspond à un changement de phase dans le domaine de fréquence. Ceci mène à la relation suivante:

impulsion carrée soumise à des quantités différentes de déphasage, Doyle [31]

Connaître la manière de propagation d'une onde dans un matériau est d'importance primordiale dans l'analyse d'onde. La dispersion et l'atténuation de l'onde peuvent avoir lieu lorsqu'elle se propage dans certains milieux. La dispersion est liée à l'allongement d'une onde pendant la propagation dans un milieu tandis que l'atténuation est liée à une réduction d'amplitude. La dispersion et l'atténuation sont des actions en corrélation qui sont généralement

couplées. En d'autres termes, s'il y'a dispersion, il y'a généralement atténuation. La figure III.5 montre ces effets. L'atténuation et la dispersion peuvent être provoquées par une variété de facteurs comme, les propriétés du matériau et les contraintes géométriques. La capacité de séparer les composantes d'une onde est une clé pour analyser les relations de dispersion et d'atténuation. La figure III.6 illustre les composantes d'une onde en fonction du temps. Le train d'ondes du côté gauche illustre un système non dispersif. Pendant la propagation d'onde, ses différentes composantes ont la même vitesse et gardent donc dans la même position relative entre elles. Ceci signifie qu'à tout moment donné l'addition des différentes composantes de l'onde aura comme conséquence la même onde. Pour le système dispersif, montré à droite du de la figure III.6, les trains d'onde ont différentes vitesses ce qui change leurs positions relatives. Ceci signifie que pendant la propagation du train d'ondes, l'onde résultante se déformera avec le temps. La vitesse de déplacement de chaque composante s'appelle la vitesse de phase. Elle qui est donnée par:

Où c est la vitesse de phase, t est le temps, x est la distance mesurée à partir de l'interface et k est le nombre d'onde. En reliant la vitesse de chaque phase à la fréquence, un rapport dispersif peut être développé [31, 32, 33]. Le rapport entre le nombre d'onde et la fréquence s'appelle le rapport de spectre. La vitesse à laquelle l'onde superposée se déplace s'appelle la vitesse de groupe (c_g). C'est l'onde actuellement observée.

Si l'onde est mesurée en un point, alors elle peut théoriquement être prévue à un autre point en appliquant une fonction de transfert à l'onde originale. En d'autres termes, si on sait le rapport dispersif, on peut prévoir comment une onde propagera à travers un matériau.

Figure III.6: Segments d'un train infini d'ondes à différentes positions.
Gauche: Système non dispersif. Droite: Système dispersif, Doyle [31]

Afin de prévoir l'état de propagation d'une onde dans un milieu, un modèle décrivant son mouvement doit être formulé. Le développement des équations de fréquence de Pochhammer [34] et de Chree [35] forme la base pour l'analyse de la propagation longitudinale d'onde. Ces équations relient la vitesse de phase à la fréquence pour une propagation unidimensionnelle de l'onde. Selon Follansbee [36] une analyse unidimensionnelle est suffisante puisque la majorité de l'énergie est contenue dans les longueurs d'onde qui excèdent dix fois le rayon de la barre. Ceci signifie également que la mesure extérieure de la contrainte est un indicateur valide de déplacement axial. L'équation unidimensionnelle du mouvement d'onde est:

Où F_n est le spectre d'amplitude et le G est la fonction de transfert du système; Doyle [31].

L'indice inférieur m se rapporte au mode de la solution. Généralement, seulement le premier mode est considéré; Cheng et autres [38]. La fonction de transfert détermine la quantité d'atténuation du déphasage en fonction de l'espace. On verra plus tard que la fonction de transfert sera liée au coefficient de propagation ã.

On considère un matériau élastique analysé linéairement. La dispersion est ignorée si le rapport de la longueur d'onde (ë) au rayon (R) est beaucoup moins à l'unité; Davies [4].

Follansbee et Frantz [32] ont déterminé que la dispersion est une considération importante même lorsque ë/R << 1 pour les barres linéairement élastiques.

Les effets viscoélastiques créent des problèmes avec les barres polymères. L'utilisation des barres fabriquées de ces matériaux exige une plus grande compréhension des propriétés du matériau de la barre. L'atténuation et la dispersion ont de grands effets sur les ondes; incidente, réfléchie et transmise. Le problème est que la mesure de la jauge de contrainte au milieu de la barre ne correspond pas aux conditions à l'interface barre-spécimen. Par conséquent, la réduction de quelques données est exigée. Une variété de méthodes a été suggérée pour combattre ce problème.

La correction de la dispersion améliore la forme de la courbe contrainte-déformation dynamique [53]. Des méthodes expérimentales et théoriques sont à utiliser pour corriger la dispersion et l'atténuation d'un signal.

L'approche théorique pour résoudre ce problème exige qu'un modèle viscoélastique du matériau soit formulé. Le modèle est utilisé pour simuler le comportement du matériau de sorte que l'onde puisse être prévue à un certain point de mesure connue. Kolsky [39] illustre les trois modèles les plus généralement utilisés pour simuler la réponse viscoélastique. Les trois modèles, représentés sur la figure III.7, sont composés d'éléments amortisseur et ressort. Les différentes configurations de Voigt, de Maxwell et du Solide général modélisent les différents types de comportements dynamiques. Le modèle de Voigt est fondé sur l'hypothèse que les composantes de la contrainte dans un solide sont proportionnelles à la somme de la déformation et du taux de déformation. Dans le solide de Maxwell, le taux de contrainte est proportionnel au taux de déformation et à la contrainte. Alors, les solides de Maxwell et de Voigt réagissent de manières opposées. On a une décroissance logarithmique inversement proportionnelle à la fréquence dans l'amplitude de la vibration pour des solides de Maxwell et directement proportionnelle pour des solides de Voigt. Le modèle le plus général est une combinaison des éléments de Maxwell et de Voigt. Le résultat est un modèle qui est plus utile en décrivant la nature qualitative du matériau viscoélastique. Cependant, même le modèle général ne correspond pas bien aux résultats quantitatifs exceptés sur une petite gamme de fréquence. Wang et autres [40] proposent que le

modèle non linéaire de Zhu-Wang-Tang (ZWT) puisse simuler le comportement viscoélastique des matériaux polymères. Le modèle de ZWT est une compilation de deux solides de Maxwell parallèlement à un ressort. Par simulation numérique, ils peuvent prédire précisément la réponse viscoélastique connaissant les propriétés du matériau.

Tyas et Watson [41] utilisent la simulation numérique pour déterminer le comportement viscoélastique d'un matériau. Ils simulent l'historique d'une force d'entrée appliqué à l'extrémité d'une barre tout en enregistrant le signal dispersé à une certaine distance de l'extrémité. A partir de l'entrée connue et la sortie enregistrée, le rapport dispersif peut être déterminé.

Sawas et autres [42] ont utilisé des barres en acrylique pour examiner des échantillons en polycarbonate, mousse de polyuréthane et mousse de styrol avec un certain succès. Leur méthode de réduction de données exige une connaissance a priori des propriétés du matériau des barres acryliques. Ces propriétés sont utilisées pour résoudre une forme de l'équation d'ondes viscoélastique permettant à la propagation de l'onde d'être prévue.

Zhao et Gary [43] ont développé une équation d'onde tridimensionnelle basée sur l'équation de propagation de l'onde longitudinale de Pochhammer et Chree. Par comparaison avec des résultats empiriques, ils prouvent que l'application du modèle tridimensionnel prévoit plus exactement l'état de propagation des ondes dans des milieux viscoélastiques. Zhao et Gary [44] ont également étendu ce travail afin d'inclure une méthode inverse pour le calcul des paramètres du matériau. En mesurant la vitesse sur les extrémités de la barre et puis en estimant les paramètres modèles par des itérations multiples. Sogabe et autres [45] emploient une approche semblable pour définir un coefficient de propagation qui permet la correction de l'atténuation et de la dispersion.

L'avantage de déterminer les propriétés du matériau des barres; entrante et sortante expérimentalement est qu'aucune connaissance antérieure des propriétés du matériau n'est exigée et ce n'est pas nécessaire de résoudre les équations de fréquence de Pochhammer et de Chree. Aussi bien, les corrections basées sur des techniques analytiques semblent limitées à corriger seulement un peu de distorsion dispersive.

Gorham et Wu [33] ont suggéré une méthode pour déterminer expérimentalement les corrections de phase. Leur méthode exige qu'une série d'essais à l'aide de projectiles de différentes tailles soit effectuée. Le spectre de phase pour chaque impulsion est analysé et avec la connaissance de la manière dont une impulsion idéale propage, la variation de la phase fondamentale commune à toutes les courbes est déterminée. Avec la connaissance de la façon dont les vitesses de phase changent sur la gamme des fréquences, la dispersion de l'onde peut donc être prévue.

Bacon [46] suggère une méthode expérimentale pour considérer l'atténuation et la dispersion dans les barres viscoélastiques. Cette méthode implique de réaliser un essai sur chaque barre afin de déterminer le comportement du matériau viscoélastique. Cette méthode, décrite plus tard, détermine le rapport dispersif expérimentalement. Bacon et Brun [47] ont étendu cette méthode pour déterminer le rapport dispersif sur la longueur des barres non uniformes. Cette méthodologie serait utile si les extrémités des barres sont chauffées ou si les barres sont d'impédance non uniforme pour assortir un échantillon. Ce travail est une prolongation de Lundberg et autres [48] où les propriétés viscoélastiques du matériau ont été déterminées en utilisant une technique de mesure à deux points. Cheng et autres [38] suggèrent une méthode semblable de détermination du coefficient de propagation. Au lieu de redéployer les spectres de phase pour déterminer le déphasage entre deux impulsions, le nombre d'onde est estimé pour donner une vitesse de phase et un rapport de fréquence raisonnables.

En appliquant l'analyse spectrale de l'onde à une configuration de la barre d'Hopkinson, des équations reliant la vitesse et la force aux interfaces de la barre peuvent être dérivées. L'équation d'ondes unidimensionnelle peut être écrite en terme de contrainte comme:

ó ~ x ù et å x ù sont les transformées de Fourier de la contrainte et de la déformation ~

respectivement. La fréquence angulaire ù est reliée à la fréquence par: ù = 2ðf .Pour des milieux linéairement viscoélastiques, la contrainte est donc liée à la déformation par:

Où E * est le module complexe du matériau. Le coefficient de propagationã = ã(ù), est défini par:

=
² (3.22)
E * En utilisant les équations (3.20), (3.2 1) et (3.22) l'équation unidimensionnelle d'un mouvement

ù et N ù sont les transformées de Fourier des déformations à x = 0 .Elles sont dues à la propagation des ondes dans les directions de l'augmentation et de diminution de x respectivement. La vitessev ( , )

~ ñ ù

F x

( , )

ù = - ã 2

2 ? - + x

~ ã x ~

P e N e ã

( )

ù ( )

?
??

(3.26)

eãsont liés à l'atténuation et à la propagation respectivement. Le coefficient de propagation ã(ù) est lié au coefficient d'atténuationá(ù), et à la vitesse de phase c(ù) par:

Où: K(ù) est le nombre d'onde (fonction impaire) et á(ù) est également une fonction positive avec : á(0) = 0.

La méthode suivante est basée sur le travail de Bacon [46]. La base de la détermination deã(ù) expérimentalement est l'équation (3.26). En permettant à une extrémité de la barre d'être

libre; la force devient zéro (ou bien au moins très petite que la force à l'endroit de la jauge de déformation). Lorsque la force à l'extrémité est zéro, l'équation (3.26) deviennent:

Où: d est la distance de l'endroit de la jauge de déformation à l'extrémité libre et P

et N

sont liés

G ^R e ²

( ) ã

ù -

å ù

~ ( )

= - =

å ù

~ I ( )

(3.30)

Le signe négatif devant le rapport doit compenser le fait que l'onde réfléchie est inversée. Il devrait être appliqué à la transformée de Fourier de la déformation réfléchie en forme rectangulaire. Alors, le rapport complexe décrit comment l'onde a changé, à raison de l'atténuation et de la dispersion, sur la distance 2d. Après qu'un signe négatif soit appliqué à la déformation réfléchie, le rapport complexe devient:

Ceci est fait pour chaque fréquence. Par conséquent, le rapport dispersif entre la fréquence et le k est déterminé.

La détermination du coefficient de propagation permet la détermination de la vitesse et la

force à l'interface des barres incidente et transmise. Ceci, alternativement, permet un calcul direct du taux de déformation de l'équation (2.1). La contrainte peut être calculée à partir:

Où les indices inférieurs S et T se rapportent au spécimen et à la barre transmise respectivement. La déformation peut être déterminée en intégrant l'équation (2.1) par rapport au temps comme suit:

La division de la longueur de l'échantillon pour obtenir le taux de déformation et la section de l'échantillon pour obtenir la contrainte devrait être faite dans l'ordre de domaine de temps pour maintenir sa représentation physique.

Ce chapitre a décrit la base de l'analyse spectrale de l'onde comme elle s'applique à l'appareil à barre d'Hopkinson. La compréhension de cette méthode d'analyse de propagation d'onde permet d'inclure un rapport dispersif qui permet d'analyser le comportement viscoélastique inhérent à la plupart des polymères. En plus d'une analyse détaillée d'une méthode expérimentale, de diverses méthodes analytiques pour la détermination du rapport dispersif ont été également discutées.

Mise au point du dispositif à barre de pression d'Hopkinson divisée (BPHD)

II.6.3 Autres considérations