Etude des transferts de chaleur dans une enceinte confinant un matériau à changement de phase et chauffée par des sources de chaleur protubérantes sur une paroi conductrice verticale

2. 2. 3 Equations gouvernantes

Sur la base des hypothèses susmentionnées et en utilisant la méthode d'enthalpie- porosité [52], les équations gouvernant les transferts de masse, de la quantité de mouvement et de chaleur au sein de la plaque conductrice, du MCP et des sources de chaleur sont données comme suit:

- Equation de la conservation de la masse:

? ( ñ u) + ? ( ñv) = 0 (2.1)

? x ? y

- Equations de la quantité de mouvement:

? ? ?? ? ~ ? ~ ? ~ ? ~

p u u

( u) ( uu) ( vu)

ñ + ñ + ñ = - + ~ ì ~ + ~ ì ~ + S (2.2)

u

? t ? x ? y ? ? ~ ? ~ ? ~ ? ~

x x x y y

? ? ?? ? ~ ? ~ ? ~ ? ~

p v v

( v) ( uv) ( vv)

ñ + ñ + ñ = - + ~ ì ~ + ~ ì ~ + S (2.3)

v

? t ? x ? y ? ? ~ ? ~ ? ~ ? ~

y x x y y

- Equation de l'énergie

? ? ? ? ~ ? ~ ? ~ ? ~

k h k h

( h) ( uh) ( vh)

ñ + ñ + ñ = S (2.4)

h

? t ? x ? y ? ~ ? ? ?

~ + ~ ~ +

x c x

~ ~ ~ ~

y c y

p p

T

avec, h = f c _p dT+h(T _f) , ( h(T_f ) =0 ) (2.5)

Tf

(1-f)²

S u = -C

³

(f

+b) u (2.6)

(1^3 + b) - f)^2 S v = - C (f v +ñ g â(T -T f)

(2.7)

~ ? f Q ' ~

S = ä ~ - - ä ñÄÇ

( )

1 + ä ~ (2.8)

h 1 2 f 2

~ ? t e _c lc ~

L'équation de la quantité de mouvement est similaire à celle d'un milieu poreux avec une porosité nulle dans les zones solides et une porosité égale à 1 dans la zone liquide, Eqs.(2.6 et 2.7). Les mêmes équations gouvernent les transferts de chaleur et de la quantité de mouvement dans les régions solides (MCP non fondu, sources de chaleur, plaque conductrice)

et dans le MCP liquide avec la prise en compte d'une grande valeur de la viscosité dynamique
dans les zones solides. Les paramètres ä ₁ et ä₂ et la conductivité thermique, k, figurant dans

l'équation de l'énergie, sont donnés comme suit:

,

k MCP

m

~

~

k k plaque conductrice

= s

~L k sources de chaleur c

~

ä = ~_~1

~

ä = ~_~2

1 sourcesde chaleur et MCP 0 plaque conductrice

(2.9)

1 sources de chaleur 0 MCP

Conditions aux limites et initiales:

Les équations précitées sont assujetties aux conditions aux limites et initiale suivantes: - Interface plaque conductrice (s)- source de chaleur (c)

T =T et k c s c	? T ? T = k s ? x ? x c	s	(2. 10)

- Interface plaque conductrice - MCP

T =T et k

s m m

k s

? x ? x

m

(2. 11)

? T

? T

s

- Interface MCP - source de chaleur

? T ? T

=k_m

? ?

c

T =T et k

c m c

m

ç

ç

(2. 12)

avec, ç ? interface.

- Sur les quatre parois adiabatiques de la cavité

? = T ?ç

0 où, ç ? à la paroi (2. 13)

- Non glissement et imperméabilité sur toutes les parois solides

u = v = 0 (2. 14)

- Condition initiale:

u = v = 0 , f = 0 , T =T_f (2. 15)

Les propriétés thermo- physiques du MCP sont évaluées comme suit:

k m = f k m , l + ( 1 - f) k m , s , á m = f á _m,l + (1 - f ) á_m,s (2. 16)

A l'interface `i' entre deux matériaux différents (MCP, plaque conductrice ou sources de chaleur), la conductivité thermique est estimée par la méthode des moyennes harmoniques [56].

k i

k k ( ä + ä )

+ - + -

(2. 17)

ä + ä

k k

+ - - +

avec, ä + , est la distance séparant l'interface et le point voisin appartenant au matériau `+' et, ä - , est la distance séparant l'interface et le point voisin appartenant au matériau `-'.

Dans les équations ci-dessus, S_u et S_v sont deux termes sources utilisés pour annuler la vitesse dans les régions solides (MCP solide, plaque conductrice, sources de chaleur). Une des techniques utilisée pour annuler la vitesse est l'introduction d'un terme de Darcy [52], en choisissant C = 10 ²⁵ kg _m-3 s-1 et b = 0,005. La valeur de la constante C dépend, en principe, de la morphologie du milieu poreux. La quantité b est introduite ici simplement pour éviter une division par zéro dans le cas d'une fraction liquide nulle. Numériquement, le rapport C/b doit simplement être suffisamment élevé afin d'annuler les vitesses dans la région solide. La comparaison des différentes techniques d'immobilisation de la phase solide (y compris la variation de la viscosité et le modèle du milieu poreux) est l'objet principal de l'article de Voller et al. [52], et par la suite a fait l'objet d'un `benchmark' prouvant son efficacité [55]. En résumé, cette méthode offre l'avantage d'être souvent plus stable, bénéficie d'une plus grande signification physique et peut servir à modéliser des phénomènes de changement de phase avec une zone pâteuse.

La méthode enthalpique consiste à formuler l'équation d'énergie en terme d'enthalpie sensible. Le terme source de cette équation reflète le changement de phase. Dans le cas des corps purs, où le changement de phase se fait à température constante, T = Tf, la fraction liquide, f, est donnée par la relation suivante:

~L 0 < < 1 si T = T

f f

f= 1 si T > T_f

f= 0 si T < T_f

(2. 18)

Le système d'équations (2.1-2.3) est intégré numériquement sur un maillage décalé moyennant la méthode de volume de contrôle de Patankar [56]. L'algorithme SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equation) est utilisé pour traiter le couplage pression/vitesse. Ces techniques sont explicitées dans les sections qui suivent.