2.2 Modélisation mathématique
2. 2. 1 Hypothèses simplificatrices
Pour modéliser les phénomènes
conjugués mis en jeu au sein du système proposé,
à
savoir les transferts de chaleur convectif et conductif et le
changement de phase, les hypothèses suivantes ont été
adoptées:
· le MCP est pure et le changement de phase est
isotherme;
· le MCP est homogène et isotrope;
· le MCP est initialement solide à sa
température de fusion (To = Tf);
· les propriétés thermophysiques sont
supposées constantes dans la plage de température
envisagée. La température de référence est
apportée au point de fusion: Tref = Tf. La densité de
référence: ñ ref = ñ (T = Tf));
· le contact entre le MCP et les frontières
solides est parfait et permanent;
· le MCP solide est immobilisé, même s'il
est entouré de liquide;
· l'écoulement est Newtonien, laminaire et
incompressible;
· les principaux modes de transfert de chaleur dans le MCP
sont la conduction et la convection naturelle;
· le transfert de chaleur et l'écoulement sont
transitoires et bidimensionnels;
· la dissipation visqueuse est négligée;
· l'approximation de Boussinesq qui consiste à
négliger les variations de la masse volumique avec la température
partout sauf dans le terme de poussée est valide. Ainsi, la masse
volumique figurant dans le terme qui génère le mouvement, varie
linéairement en fonction de la température selon la relation:
p(T) = p ref ~ 1 - !3
( T - T ref ) ~
~ ~
où, â est le coefficient de la dilatation
thermique donné par la relation:
1 ~ ?ñ ~
â = ? ~ ~
p(T) T
~ ? ) P
2. 2. 2 Présentation de la méthode
enthalpique
De multiples méthodes numériques sont
proposées dans la littérature pour résoudre les
problèmes de transfert de chaleur avec changement de phase (fusion ou
solidification). En général, ces méthodes cherchent
à calculer la position du front de fusion ou de solidification au cours
du temps, et se divisent en deux principales classes:
· méthodes à grille spatiale fixe ;
· méthodes à grille mobile ou
déformable.
Les méthodes à grille (maillage) fixe sont
basées sur une formulation enthalpique de l'équation de
conservation de l'énergie, et utilisent la fraction liquide locale pour
suivre le déplacement du front de fusion à travers le maillage
statique. En revanche, les méthodes à maillage déformable
se basent sur la formulation classique de Stefan où le bilan thermique
au front de fusion détermine la position de celui-ci; le maillage est
regénéré à chaque instant afin qu'une de ses lignes
se superpose à ce front. Ces deux méthodes,
considérées comme deux approches bien distinctes, ont fait
l'objet de plusieurs études comparatives [51-55]. La méthode
à maillage déformable est plus précise pour calculer la
position de l'interface solide/liquide. Toutefois, elle est plus lourde
à mettre en oeuvre, et demande plus de temps de calcul. La
méthode à maillage fixe demande moins de calculs. Ces
méthodes sont utilisées dans le domaine de la métallurgie,
dans le but de prévoir le comportement des métaux liquides au
cours de leur solidification dans les moules, ou dans les fours au cours de la
fusion. Un autre domaine dans lequel ces méthodes sont utilisées
est le stockage d'énergie par chaleur latente; des travaux ont
porté sur le comportement des MCP en solidification et en fusion, dans
différentes installations et configurations de stockage. Dans la
présente étude la méthode enthalpique à maillage
fixe sera adoptée.
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