5 Modèle de chaîne trophique DEBf
5.1 Dynamique en absence du superprédateur
Ce modèle, dans sa version a deux échelons,
possède lui aussi trois équilibres. E0 1 (Eq.
5) correspond au cas oü ni la proie nile prédateur ne peuvent se
maintenir dans le chemostat tandis que E 2 (Eq. 6) est
l'équilibre oü seules les proies subsistent. E0 3
(Eq. 7) est l'équilibre qui permet la coexistence de la proie et
du prédateur.
()
Xr,Xr
E0 1 =
,0,0,0(5)
Xk1 +
Xr
E02 =(X*
0,2,e* 1,2,X*
1,2,e*
2,2,X*2,2)
=
|
Xk1
e*1 ,2
,
1 - e* 1,2
|
g1 (ÿkM1 +
ÿh)
ÿkE1-hÿ ,
|
h ÿ(Xr - X* 0,2)
(Xk1 + X* 0,2)
,
J Xm1 X*0,2
|
) (6)
X* 1,2, 0
Xk2 +
X*1,2
|
|
E0 3 =(X* 0,3,e*
1,3,X* 1,3,e*
2,3,X*2,3)
= X* 0,3,
|
X*0,3
,
Xk1
+X*0,3
|
e*2,3
Xk2
|
g2(ÿh+
ÿkM2)
ÿkE2-hÿ ,
|
Xk2 + X*
1,3
JXm1
|
ÿkE1 e* 1,3 -
ÿkM1 g1
|
))hÿ
|
|
|
|
(7)
Le diagramme de bifurcation synthétise les
types de régime asymptotique atteints par le système
(Fig. 6) pour des gammes de valeur des paramètres d'enrichissement, les
paramètres de bifurcation. Il présente trois zones
différentes selon Xr et ÿh. Tout
d'abord une zone en arc de cercle pour des taux de dilution supérieurs a
0, 3 h-1 ou des concentrations en
glucose faibles (< 0, 2 mg.mL-1)
oü seule la proie peut se maintenir. Dans un autre arc de cercle atteint
lorsqu'on augmente Xr et que l'on diminue ÿh,
il y a coexistence de la proie et du prédateur autour d'un
équilibre ponctuel. La dernière zone est obtenue pour Xr >
1, 2 mg.mL-1 et pour des valeurs raisonnables
de ÿh, la proie et le prédateur y subissent des
fluctuations d'effectifpériodiques (Fig. 8).
Ces observations rejoignent des travaux antérieurs
(Kooi & Kooijman, 1994a) et peuvent être complétées par
une très petite zone de chaos située près du bord
supérieur de la zone de fluctuation des abondances de la proie et du
prédateur (Kooi & Hanegraaf, 2001).
5.2 Dynamique en présence du
superprédateur
Le modèle DEB a trois échelons possédant
six variables d'état, les véritables attracteurs
du système se déploient dans un espace des phases a
six dimensions. Les portraits de phase présentés ici
(Fig. 7) correspondent donc a une projection dans
0.5 1 1.5 2
0.2
0.15
0.1
0.05
Proie
uniquement
Coexistence
stable de
la proie et du
prédateur
Fluctuations
périodiques
de la proie
et du
prédateur
Concentration en glucose, Xr,
en mg.mL-1
FIG. 6 ~ Diagramme de stabilité des différents
équilibres en fonction des deux paramètres de bifurcation du
modèle DEBf, l'étoile signale les valeurs utilisées pour
l'expérimentation de calibrage de Dent et al. (1976)
un espace des phases réduit composé
uniquement des trois dimensions données par les biomasses des
différents échelons trophiques. Selon un gradient
d'enrichissement et avec un taux de dilution fixé a une valeur
suffisamment basse, ici h ÿ = 0,02, on retrouve un
équilibre ponctuel (A), des fluctuations pe'riodique de basse
fréquence (B), une dynamique chaotique (C) et des fluctuations
pe'riodiques de haute fréquence (D). Cette séquence de
types d'équilibre est rigoureusement la même que pour le
modèle R-M (Fig. 5). Elle a aussi été observée dans
des modèles différents comme le modèle de Canale ou un
modèle de métapopulation (Rinaldi & De Feo, 1999).
La dynamique en présence du superprédateur avec
deux réserves (e2 et e3) est
différente de ce qui se passe lorsque toutes les réserves sont
supprimées du modèle en posant e, = f, pour
i ? {1, 2, 3} (Kooi et al. , 1997). Le modèle
présente alors une dynamique chaotique pour des zones
différentes de l'espace des paramètres même si les
mêmes dynamiques sont retrouvées. Les réserves semblent
donc avoir une importance pour la description fine d'un système.
12 1
0
20
0
X2
0
X1
Xr = 170
Xr = 100 A B
4
2
0
4
X3
2
510 1520 25
2
10
8
5
10
X1
X3
64
X2
50
X1
0
0
Xr = 350
Xr = 240 CD
4
5
4
3
2
X3
20 4060
1
0 40
15
100
5
X1
X3
2
10
X2
20
X2
FIG. 7 - Portraits de phase présentant
différentes dynamiques en présence du superprédateur. Ces
dynamiques sont rencontrées de (A) a (D) selon un gradient
d'enrichissement sur Xr pour h ÿ = 0, 02. (A)
équilibre ponctuel, (B) cycle limite basse fréquence, (C)
attracteur étrange et (D) cycle limite haute fréquence.
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