3/ Résultats obtenus par cokrigeage ordinaire
Le cokrigeage renforce le krigeage standard en y ajoutant
l'information apportée par une deuxième variable. C'est un
immense avantage quand l'information de la variable principale vient à
manquer. On peut aussi s'imaginer optimiser les coûts des campagnes
d'échantillonnage en prélevant la profondeur au toit du socle
cristallin uniquement aux endroits à fort volume sédimentaire.
nZ nZ
1 2
Les principes de base du cokrigeage sont les mêmes que
ceux du krigeage. On veut former une estimation linéaire de la variable
principale à partir d'observations de la variable principale et de la
variable secondaire.
Z s
à ( ) = ? ù i Z s
i + ? ù Z s
0 1 ( ) 2 ( )
j j
i =1 j=1
Mais, en plus de créer un variogramme qui
représente les variations spatiales de la variable principale entre deux
points d'observation, le cokrigeage introduit la notion de variogramme
croisé (cf. chap. II § 3.5 ). Tout comme dans le cas du krigeage,
le variogramme croisé est modélisé. Il permet alors de
résoudre les équations qui fournissent les valeurs des
coefficients de pondération en fonction des observations des deux
variables utilisés. De la même manière, une
évaluation de l'erreur d'estimation est disponible en chaque point
d'interpolation. D'autre
part cette variance d'estimation est toujours inférieure
à celle obtenue par krigeage (Arnaud et Emery, 200 p.195).
3.1/ Ajustement du variogramme croisé
Le variogramme croisé quantifie la corrélation
spatiale entre la variable principale et la variable secondaire.
Variogramme directionnel croisé
(Profondeur au toit
du socle rocheux / Profondeur à la surface du fond
Direction -35°
Direction 55°
Figure 5.2
? 3
3 h h ?
h ?? 28 × ? -
? ?
( ) = 3
a
? 2 2a?
??
ã
28
0
a h
= =
pour
>a
pour h
Le palier est égal à la covariance entre la
profondeur au toit du socle cristallin et celle à surface du fond
marin.
a identifie la portée ;
a=0.378 km dans la direction -35° a=0.731 km
dans la direction 55°
3.2/ Validation Croisée
La validation croisée est utilisée pour comparer
deux approches. La première approche est la même que
précédemment, c'est-à-dire que nous avons construit un
modèle variographique à partir de données mesurées
et de données d'expertise. Ces dernières ont été
jugées par un géologue connaissant le terrain (cf. chap. III
§ 2.1.2). Lors du krigeage standard nous avons gardé ces points
pour estimer l'ensemble du champ. Or ce ne sont pas des valeurs exactes. La
deuxième approche propose de bénéficier de l'information
apportée par la deuxième variable sans prendre en compte les
points d'experts lors de l'estimation.
Nous n'avons pas montré la deuxième approche pour
l'estimation par krigeage car les résultats n'en valaient pas la
peine.
Le tableau suivant montre les statistiques de la validation
croisée.
|
N=441 / N=323
|
Estimation avec points experts
|
Estimation sans points experts
|
|
Erreur Quadratique Moyenne
|
2,08
|
1,20
|
|
Moyenne des erreurs d'estimation
|
-0,02
|
-0,01
|
|
Ecart-type des erreurs d'estimation
|
1,44
|
1,09
|
|
Moyenne des erreurs relatives
|
-3,52 %
|
-1,03%
|
|
Moyenne des erreurs standardisées
|
-0,006
|
-0,003
|
|
Ecart-Type des erreurs standardisées
|
0,83
|
0,68
|
|
Coefficient de corrélation
|
0,97
|
0,98
|
|
% de données dont l'erreur
standardisée est inférieure à 2,5
|
98
|
98
|
Les indicateurs statistiques des deux méthodes sont
proches. Néanmoins l'EQM est bien meilleur quand on ne rajoute pas les
points d'expertises. Nous supposons que c'est du aux points d'expertises
difficiles à estimer car ils ne reflètent pas forcément la
réalité.
Avec points d'expertises
points d'experts mal estimés
Sans points d'expertises
Vraies valeurs Vraies valeurs
Nuage de corrélation entre valeurs vraies et
estimées (par cokrigeage)
Figure 5.3
La figure 5.3 compare les nuages de corrélations entre
vraies valeurs et des valeurs estimées des deux approches.
Les nuages sont bien plus concentrés le long de la
diagonale que ceux de l'estimation par krigeage, ce qui indique une meilleure
précision des estimations.
Attardons-nous sur le nuage de gauche, un grand nombre de
points d'une profondeur de 15 mètres ont été estimé
entre 10 et 20 mètres. Après une recherche de localisation il
s'avère que ce sont des points d'expertises ; un élément
de plus pour les juger non fiables. Il manque une cohérence entre les
points d'expertises et les points qui les entourent.
La figure 5.4 localise les erreurs d'estimation. Elles sont
moins fortes que celle faites par krigeage. Au lieu de varier entre -8 et 8
mètres elles ne fluctuent plus qu'entre -8 et 4 mètres. Par
contre, les erreurs les plus importantes se localisent toujours aux mêmes
endroits.
Erreurs d'estimations
Puits
Sans points d'expertises
Avec points d'expertises
Figure 5.5
Figure 5.4
3.3/ Résultat du cokrigeage
A la vue de la figure 5.5, on s'aperçoit que les
résultats obtenus par cokrigeage sont plus fins que ceux obtenus par
krigeage. Le chenal présente une plus forte rugosité, la
profondeur diminue en s'approchant de la côte et les monticules rocheux
séparant le puits au centre de celui au sud sont plus lisibles.
N'ayant pas de points de mesures au nord ni au niveau de
l'embouchure, le cokrigeage n'a pas pu estimer cette zone sans les points
d'expertises. En revanche nous supposons que l'estimation sans les points
d'expertises, du centre de la zone d'étude, se rapproche plus de la
réalité car nous n'avons pas introduit de biais.
L'écart-type du cokrigeage est plus faible que celui du
krigeage dans une grande partie de la zone d'étude.
En d'autres termes, l'information apportée par la
variable auxiliaire, fortement corrélée avec la variable cible,
permet de compenser en grande partie le manque d'information dû à
un sous échantillonnage de la variable cible. C'est là l'un des
intérêts majeurs du cokrigeage, lorsque les mesures de la variable
cible viennent à manquer ou, qu'il est moins coûteux de
récupérer une ou plusieurs variables auxiliaires que de mesurer
plus largement la variable cible.
Les figures suivantes (figures 5.6) montrent différentes
représentations des résultats obtenus.
Lissage - visualisation 2D Courbes de niveaux
Lissage - visualisation 3D
Cartes des profondeurs au toit du socle rocheux
Figure
5.6
4/ Comparaison graphique avec d'autres
méthodes d'interpolation
A titre de comparaison, nous avons dessiné la carte des
profondeurs au toit du socle rocheux en utilisant les résultats de
quatre méthodes d'interpolation.
Triangulation Delaunay
Cokrigeage
mètres
mètres
Triangulation Thiessen Inverse des distances
mètres
mètres
Figure 5.7
Les trois méthodes figurants à côté
de celle par cokrigeage sont des techniques d'interpolation
automatisées, intégrées dans des logiciels de
système d'information géographique (SIG). Leurs procédures
de calculs ont été définies dans le chapitre I.
Cette comparaison illustre les résultats des
méthodes déterministes. Ils sont différents, mais
permettent néanmoins une représentation globale du
phénomène à étudier.
Chapitre VI : Les épaisseurs de couches
sédimentaires 1/ Epaisseur de sédiment
L'étude doit permettre d'aboutir à
l'épaisseur des formations sédimentaires. C'est la
différence entre la profondeur des fonds marins et celle au toit du
socle rocheux. La figure 6.1 a été obtenue à partir des
profondeurs au toit du substratum estimées par cokrigeage et des
données bathymétriques délivrées par le SHOM.
Embouchure
[0-1[ mètre [1-3[ mètres [3-5[ mètres
[5-10[ mètres [10-15[ mètres
Pointe de l'île aux Moines
Figure 6.1
La baie est recouverte d'une couche sédimentaire de 5
à 10 mètres d'épaisseur. Des dunes apparaissent le long
ouest du chenal. Le socle rocheux du sud-est de la zone est dépourvu de
formation sédimentaire.
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