3/ Variogramme
3.1/ Variogramme théorique et variogramme
expérimental
D'après Marcotte (cours de «géostatistique
minière »), la nature n'est pas entièrement
imprévisible. Deux observations situées l'une près de
l'autre devraient en moyenne se ressembler davantage que deux observations
éloignées. La différence entre les valeurs prises par deux
variables aléatoires est Z(s)-Z(s+h). C'est également
une variable aléatoire dont on peut calculer la variance. Cette variance
devrait être plus petite lorsque les points sont rapprochés (les
valeurs se ressemblent plus en moyenne) et plus grande lorsque les points sont
éloignés. On appelle variogramme la demi-variance de cette
différence.
|
ã
|
( h ) = Var Z s + h - Z
h
1 ( ( ) (
2
|
))
|
L'outil mesure la « variabilité spatiale »,
c'est-à-dire la dissemblance entre les valeurs en fonction de leurs
séparations. Il décrit la continuité spatiale de la
variable régionalisée.
Le variogramme théorique est défini comme :
|
1
1
+ - = [
h Var Z s h Z h E
ã ( )
= ( ( ) ( ))
2 2
|
( ( ) ( ))2 ] (0) ( )
Z s h Z s C C h
+ - = -
|
avec C (0) = Var(Z( s )) et
C ( h ) = Cov(Z( s + h
),Z ( s ))
Démonstration :
h Var
1
( ) =
( Z s Z s h
( ) ( )
- + )
ã
2
1
2
E Z s Z s h
[ ( ( ) ( ) ) 2 ] [ ( ) ( ) ]2
1
- + - E Z s Z s h
- +
2
or dans le cas d'une variable aléatoire stationnaire,
E[Z(s)-Z(s+h)]=0
|
1 E
2
|
[( Z s - Z s + h ( ) ( ) )
2]
|
( )
h Var
=
( Z s Z s h
( ) ( )
- + )
1
ã
2
1 [ ( ) (
) ( )
( ) ]
Var Z s
- Z s Z s h Var Z s h
2
( ) 2 cov ( ), ( )
+ +
+
or si Z est stationnaire d'ordre deux alors
Var(Z(s))=C(0)=constante
C (0) - C(h )
Remarque :
- Un variogramme peut se calculer non seulement pour une
distance donnée mais
aussi pour direction è donnée :
ãè (h)
- La covariance mesure la ressemblance entre les valeurs en
fonction de leur éloignement alors que le variogramme mesure la
dissemblance entre les valeurs en fonction de leur éloignement.
- Dans l'hypothèse de stationnarité d'ordre 2,
covariance et variogramme existent et sont liés par la relation ã
( h ) = C(0) - C(h ) . Dans
l'hypothèse intrinsèque, seul le variogramme existe. C'est
pourquoi il est généralement préféré
à la covariance pour décrire et interprété la
structure spatiale du phénomène étudié.
- Le variogramme réel d'une fonction aléatoire
est généralement inconnu, mais il peut être
évalué à partir des données
d'échantillonnages. On obtient ainsi le variogramme expérimental
proposé par Matheron (1962).
1
2 ( ) N h
N h
( )
[ Z s i h Z s i
( ) ( )
+ - ]
2
?=
i 1
à
ã ( )
h
Effet pépite :C0
Palier :
C
C0+C
12
semi-variogramme
14
10
4
8
6
2
0
0 5 10 15 20
distance : h
Portées : a
N(h) est le nombre de paires dans la classe de distance h.
Z(si) est la profondeur de la roche au point de mesure si.
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