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Etude d'une équation hyperbolique

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par et Bayoud Mohssine Khaled ZENNIR
Université 20 Aout 55 - Skikda Algérie - Licence en mathématiques 2012
  

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Faculté des Sciences

ãæ ÜÜÜÜÜÜ áÚáÇ ?? ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ ??

Faculté des Sciences
Département de Mathématiques

Mémoire

Présentée en vue de l'obtention du diplôme de
Licence en Mathématiques appliquées

Etude d'une Equation Hyperbolique

Domaine : M.I.
Option :
Mathématiques Appliquées.

Par : Mohssin Bayoud

Encadré par : Khaled ZENNIR M.A. U S T O

Devant le jury :

Président : Rabah KHMIS M.C. U. SKIKDA

Examinateur : Ahlem BOUAKKAZ M.A. U. SKIKDA

Année : 2011/2012

Etude d'une équation Hyperbolique

Par: Mohssin BAYOUD Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
Université 20 Aout 55 SKIKDA
Faculté des sciences

Juin 2012

2

Table des matières

1

Préliminaire

1

 

1.1

Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?

2

 
 

1.1.1

Equation différentielle ordinaire (EDO)

2

 
 

1.1.2

Equation aux dirévées partielles (EDP)

2

 
 

1.1.3

Classification des EDPs linéaires du second ordre

3

 
 

1.1.4

Probléme bien posé .

3

 

1.2

Quelques notions autour des dériveés partielles

4

 
 

1.2.1

Dérivées directionnelles .

4

 
 

1.2.2

Les applications de classe C'

4

 
 

1.2.3

Conditions de Derechlet et de Numamm

6

 

1.3

Espaces métriques, espaces topologiques

6

 
 

1.3.1

Norme, distance, topologie

6

 
 

1.3.2

Continuité, complétude, compacité

7

 

1.4

Espaces fonctionnelle

10

 
 

1.4.1

Les espaces Lp

10

 
 
 

1.4.2

Espaces de Sobolev

11

 
 

1.4.3

Les espaces Lp(0,T,X)

12

2

Equation des ondes sur un axe (Dans )

13

 

2.1

Equation des cordes vibrantes

14

 
 

2.1.1

Le modèle physique

14

 
 

2.1.2

Solution de l'équation (Solution générale avec la méthode de D'Alembert) . .

15

 
 

2.1.3

Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables

19

 
 

2.1.4

Energie

22

 
 

2.1.5

Unicité d'une éventuelle solution par considération de l'énergie

23

 
 

2.1.6

Vitesse de propogation

24

 
 

2.1.7

Dérivation d'une équation des ondes

24

3 Equation des ondes en dimension ii (Dans II1n) 27

3.1 Solution de l'équation 28

3.1.1 Formulation variationnelle 28

3.1.2 Existence et unicité 30

3.2 Applications 33

Notations

RN : L'éspace Euclidien avec la norme 1,51 = 1(si,
·
·
·, 5N)1 =

X N

i=i

)112

s2 :

i

a : Domaine borné de RN.

F, 8a : Frontière topologique de a: x = (xi, x2, xN) : Point de RN. Vu : Gradient de u :

0 a )

Vu = ( u ..,

0x1 " ax u .

Au : Laplacien de u est l'opérateur du second ordre sur RN :

82 82

Au = div(Vu) = ax2 u + ... + u.

aX2

1 N

q : Conjugué de p, c -- -- d :

1

q

=1.

+

1

p

D(a) : Espace des fonctions indéfiniment différentiable sur a 2 C"°(a) et a support compacte dans a:

D'(a) : Espace de distribution .

11x1lx : La norme de x dans X .

1

p

:

II/11p = (11 I f(x)IP)

(a) = {u 2 LP (a) , Vu 2 (LP (a))/ .

1

P :

= (Ilurp+ 11Vurp)

1/Ii0 "P (a) : La ferméture de D (a) dans W1,P (a).

H : Espace de Hilbert.

H1 0= W 1;2

0 :

u : a x R#177; --> Rn. au

rat = at :

Opérateur de dérivation : Soit a un ouvert de IV , a 2 IT' et

f : a R,

alors :

1111ff(x))( ( 0 )1 l( ( 0 nnDaf(x)) == ::: f(x)

@x1 1 :::@xn @x1 @xn )n

iv

Si X est un espace de Banach

I ~

fT

L1 (0, T ; X) = f : (0, T ) - X est mesurable ; f(t) p X dt < oc :

0

I )

L°° (0, T ; X) = f : (0, T ) X est mesurable ;ess - sup f(t) p X < oc :

tE(0,T)

Bx = {x E X; x < 1} : La boule unitée.

Résumé
Dans ce travail, nous allons essayer de développer quelques techniques classiques
pour résoudre une équation hyperbolique.
Commençons par les deux méthodes (séparation de variables et D'Alembert)
pour une équation des ondes dans II1.
Ensuite on va voire l'idée de la formulation variationnelle pour montrer l'existence
de la solution faible d'une équation des ondes dans II1n; ii ~ 1.

vi

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La Quadrature du Net