Etude d'une équation hyperbolique

Faculté des Sciences

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Faculté des Sciences
Département de Mathématiques

Mémoire

Présentée en vue de l'obtention du diplôme de
Licence en Mathématiques appliquées

Etude d'une Equation Hyperbolique

Domaine : M.I.
Option : Mathématiques Appliquées.

Par : Mohssin Bayoud

Encadré par : Khaled ZENNIR M.A. U S T O

Devant le jury :

Président : Rabah KHMIS M.C. U. SKIKDA

Examinateur : Ahlem BOUAKKAZ M.A. U. SKIKDA

Année : 2011/2012

Etude d'une équation Hyperbolique

Par: Mohssin BAYOUD Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
Université 20 Aout 55 SKIKDA
Faculté des sciences

Juin 2012

2

Table des matières

1	Préliminaire			1
	1.1	Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?		2
		1.1.1	Equation différentielle ordinaire (EDO)	2
		1.1.2	Equation aux dirévées partielles (EDP)	2
		1.1.3	Classification des EDPs linéaires du second ordre	3
		1.1.4	Probléme bien posé .	3
	1.2	Quelques notions autour des dériveés partielles		4
		1.2.1	Dérivées directionnelles .	4
		1.2.2	Les applications de classe C'	4
		1.2.3	Conditions de Derechlet et de Numamm	6
	1.3	Espaces métriques, espaces topologiques		6
		1.3.1	Norme, distance, topologie	6
		1.3.2	Continuité, complétude, compacité	7
	1.4	Espaces fonctionnelle		10
		1.4.1	Les espaces L^p 10
		1.4.2	Espaces de Sobolev	11
		1.4.3	Les espaces L^p(0,T,X)	12
2	Equation des ondes sur un axe (Dans )			13
	2.1	Equation des cordes vibrantes		14
		2.1.1	Le modèle physique	14
		2.1.2	Solution de l'équation (Solution générale avec la méthode de D'Alembert) . .	15
		2.1.3	Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables	19
		2.1.4	Energie	22
		2.1.5	Unicité d'une éventuelle solution par considération de l'énergie	23
		2.1.6	Vitesse de propogation	24
		2.1.7	Dérivation d'une équation des ondes	24

3 Equation des ondes en dimension ii (Dans II1ⁿ) 27

3.1 Solution de l'équation 28

3.1.1 Formulation variationnelle 28

3.1.2 Existence et unicité 30

3.2 Applications 33

Notations

R^N : L'éspace Euclidien avec la norme 1,51 = 1(si, · · ·,^5N)1 =

X N i=i

)112 s2 : i

a : Domaine borné de R^N.

F, 8a : Frontière topologique de a: x = (xi, x2, xN) : Point de R^N. Vu : Gradient de u :

0 a )

Vu = ( u ..,

0x1 " ax u .

Au : Laplacien de u est l'opérateur du second ordre sur R^N :

82 82

Au = div(Vu) = ax2 u + ... + u.

aX²

1 N

q : Conjugué de p, c -- -- d :

1

q

=1.

+

1

p

D(a) : Espace des fonctions indéfiniment différentiable sur a 2 C"°(a) et a support compacte dans a:

D'(a) : Espace de distribution .

11x1l_x : La norme de x dans X .

1

p

:

II/11p = (1₁ I f(x)I^P)

(a) = {u 2 L^P (a) , Vu 2 (L^P (a))/ .

1

P :

= (Ilur_p+ 11Vur_p)

1/Ii0 "^P (a) : La ferméture de D (a) dans W^1,P (a).

H : Espace de Hilbert.

H1 0= W 1;2

0 :

u : a x R^#177; --> Rⁿ. au

rat = at :

Opérateur de dérivation : Soit a un ouvert de IV , a 2 IT' et

f : a R,

alors :

^1111ff(x))( ( 0 )1 l( ( 0 ^nnD^af(x)) == ::: f(x) ^@x1 1 :::@x^n @x1 @xn )n

iv

Si X est un espace de Banach

_I ~

_fT

L1 (0, T ; X) = f : (0, T ) - X est mesurable ; f(t) p X dt < oc :

0

_I )

L°° (0, T ; X) = f : (0, T ) X est mesurable ;ess - sup f(t) p X < oc :

tE(0,T)

Bx = {x E X; x < 1} : La boule unitée.

Résumé
Dans ce travail, nous allons essayer de développer quelques techniques classiques
pour résoudre une équation hyperbolique.
Commençons par les deux méthodes (séparation de variables et D'Alembert)
pour une équation des ondes dans II1.
Ensuite on va voire l'idée de la formulation variationnelle pour montrer l'existence
de la solution faible d'une équation des ondes dans II1ⁿ_; ii ~ 1.

vi