Etude d'une équation hyperbolique

Introduction

Les équations aux dérivées partielles, qui seront notées en abrégé "EDP" dans la suite, constituent une branche importante des mathématiques appliquées. Elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux phénomènes de natures différentes.

Le but principal de résoudre ces équations est d'essayer d'apprendre quelques informations sur le processus physique que l'équation est estimée a modéliser. Il est de base a l'importance des équations différentielles que même les plus simples équations correspondent aux modèles physiques utiles. La compréhension d'un processus complexe par nature, est généralement réalisée en combinant on constituant sur des modèles plus simples et plus fondamentales. Ainsi, une connaissance approfondie de ces modèles, les équations qui les décrivent, et leurs solutions, est la première indispensable étape vers la solution des problèmes plus complexes et réalistes.

Les équations aux dérivées partielles avec le temps t en tant qu'une des variables indépendantes forment des équations d'évolutions en temps (Hyperboliques et paraboliques), elles résultent non seulement de beaucoup de champs des mathématiques, mais également d'autres branches de la science telles que la physique, la mécanique et la science des matériaux. Par exemple, équations de Navier-Stokes et d'Euler de la mécanique liquide, équations de réaction-diffusion des transferts thermiques et sciences biologiques, Klein....

Les équations aux dérivées partielles Hyperboliques servent a représenter des processus dynamiques que l'on rencontre notamment dans l'étude des structures fiexibles.

Dans ce travail, que nous présentons sous forme d'un mémoire de Licence en Mathématiques, nous étudions un problème de type Hyperbolique (l'équation typique est une equation des ondes).

Une équation différentielle du second ordre se produisant fréquemment en mathématiques appliquées est l'équation d'onde. La resolution de l'équation des ondes était l'un des problèmes mathématiques majeurs de la première moitié du XV III^em siècle.

Elle a été étudiée par D'Alembert en 1746, également elle a attirée l'attention d'Euler (1748), Daniel Bernoulli (1753), et Lagrange (1759). Des solutions ont été obtenus dans plusieurs formes différentes, et vante les mérites et les relations entre, ces solutions ont été débattues, parfois avec véhémence, dans une série de documents. Les principaux points en litige portaient sur la nature d'une fonction, et les types de fonctions qui peuvent être représentés par des séries trigonométriques. Ces questions n'ont pas été résolus jusqu'a le XIX^em siècle.

Une certaine forme de cette équation, on une généralisation de celui-ci, presque inévitablement se pose dans toute analyse mathématique des phénomènes impliquant la propagation des ondes dans un milieu continu. Par exemple, les études des ondes acoustiques, des vagues d'eau, les ondes électromagnétiques et les ondes sismiques sont toutes basées sur cette équation.

Peut-être la situation la plus facile se produit dans les vibrations mécaniques. Supposer qu'un fil élastique de longueur L est tendu entre deux supports de même niveau horizontal, de telle sorte que l'axe x s'étend le long de la chaine. La corde élastique peut être considérée comme une corde de violon, un hauban, on peut-être une ligne électrique. Supposer que la chaine est mise en mouvement (par pincement, par exemple) de sorte qu'il vibre dans un plan vertical, et u(x, t) représentent le déplacement verticale subie par la chalne au point x a l'instant t. Si les effets d'amortissement, comme l'air la résistance, sont négligés, et si l'amplitude du mouvement n'est pas trop grand, alors u(x, t) satisfait l'équation aux dérivées partielles suivante

a²uxx = utt (1)

dans un domaine 0 < x < L, t > 0. L'équation (1) est connue comme l'équation des ondes. La constante a² dans (1) est donnée par

a2 = T/p, (2)

on T est la tension (force) dans la chalne, et p est la masse par unité de longueur du matériau de chalne. Il s'ensuit que a l'unité de longueur/ heure, qui est, de la vitesse de propagation des ondes le long de la chaine. Pour décrire le mouvement de la chalne complète, il est nécessaire également de préciser des conditions initiales et limites pour le déplacement u(x, t). Les extrémités sont supposées rester fixes, et donc les conditions aux limites sont

u(0,t) = 0,u(L,t) = 0,t ~ 0. (3)

Comme l'équation (1) est de second ordre pour la variable t, il est plausible de prescrire deux conditions initiales.

Elles sont la position initiale de la corde,

u(x,0) = uo(x),0 x L, (4)

et la vélocité,

ut(x,0) = ui(x),0 x L, (5)

on u0 et ui sont des fonctions données.

Pour les équations (3), (4) and (5), il est également nécessaire d'exiger que

u0(0) = u0(L) = 0,u1(0) = u1(L) = 0. (6)

Le problème mathématique est alors de déterminer la solution de l'équation d'onde (1) que satisfis également les conditions aux limites (3) et les conditions initiales (4) et (5). Ce problème est un problème de valeur initiale dans les variables t temps, et un problème de valeur limite dans l'espace de la variable x.

Il peut être considéré comme un problème aux limites dans la semi-finis bande 0 < x < L, t > 0 du plan xt. Une condition est imposée a chaque point sur les côtés semi-infinis, et deux sont imposées a chaque point d'extrémité.

Il est important de réaliser que l'équation (1) régit un grand nombre de problèmes d'ondes autres que les vibrations transversales d'une corde élastique. Par exemple, il est seulement nécessaire d'interpréter la fonction u et la constante a appropriées a des problèmes portant sur des vagues d'eau dans un océan, ces ondes acoustiques on électromagnétiques dans l'atmosphère, on des ondes élastiques dans un corps solide. Si plus d'une dimension de l'espace est important, alors l'équation (1) doit être légèrement généralisée.

L'équation d'onde a deux dimensions est

a2 (uxx + uyy) = utt: (7)

Cette équation se poserait, par exemple, si l'on considérait le mouvement d'une feuille mince et élastique, comme une peau de tambour.

De même, dans les trois dimensions de l'équation d'onde est

a2 (uxx + uyy + uzz) = Utt. (8)

Dans le cas de ces deux dernières équations, les conditions aux bords et les conditions initiales doivent également être convenablement généralisée.

En dimension supérieure l'équation suivante

Utt(X, t) - Iu(x, t) = f(x, t), (9)

représente l'équation des ondes dans Rⁿ_; elle modélise la propagation des ondes on de vibration, avec les conditions initiales

u(x,0) = u0(x),vt(x,0) = U1(X)

et les conditions aux bords

u(x,t) = 0,

on le Laplacien dans Rⁿ et la fonction f(x, t) donnée. Par exemple, la propagation au cours

du temps du déplacement vertical d'une membrane élastique, ou bien de l'amplitude d'un champ électrique de direction constante. L'inconnue dans cette équation est la fonction u(x, t).

Plan de mémoire

On a structuré ce mémoire en trois grands chapitres :

Chapitre0l :

Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et résultats de base que nous utiliserons par la suite. Ces notions et ces résultats représentent un outil important pour l'étude de ce type de problème.

Chapitre02 :

Ce chapitre traite l'une des premières équations aux dérivées partielles mises en évidence (Equation des cordes vibrantes), qui a été étudier premièrement par D'Alembert. Une corde qui est un milieu continu unitaire unidimensionnel ayant une longueur fini ou infini.

Chapitre03 :

Dans ce dernier chapitre on traite un exemple un peut plus complequé de problèmes d'évolutions de type hyperbolique. Il s'agit d'une équation des ondes dans Rⁿ pour les conditions aux limites de Dirichlet qui modélise la propagation des ondes oil de vibration.

Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui concernent les espaces métriques, topologiques, les espaces I^I (~) , les espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres théorèmes classiques. Ces notions et ces résultats représentent un outil utile pour l'étude de ce type de problème.

1.1 Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?

1.1.1 Equation différentielle ordinaire (EDO)

Définition 1.1.1 Une équation différentielle est une relation entre une variable indépendente x oIl (t), une fonction inconnue y = f(x) et ces dérivées

y⁰,y⁰⁰,y⁰⁰⁰,......., y^Th.

On peut écrire symboliquement une (ED) comme suit:

F(x, y, y^', y⁰⁰,...., yⁿ) = 0,

ou

dy d^Yy d^Thy

F (x, dx^, dx2 , ...., dx ) - 0.

Si y = f(x) une fonction d'une seule variable indépendente (x). Alors l'équation est dite équation différentielle ordinaire (EDO).