2.1.4 Energie
Definition 2.1.1 Soit u une solution de l'équation des
ondes. On appelle énergie de u la quantité
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E(t) =
P2 .1
R
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( u(x , t))2 dx +
Ot 2
T I
R
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a (axu(x,t))2dx
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Il faut noter que, pour ce qui concerne les constantes p et r
qui sont strictement positives, nous avons gardé ici la
définition physique de l'énergie de la corde vibrante : la
premiére intégrale est la partie énergie
cinétique (21mv2) et la deuxiéme
est la partie énergie potentielle, qui correspond à la
tension multipliée par l'allongement de la corde élastique
(i I 1 + (1u)2 1 ,
12(1u)2). Là encore
l'hypothése de petitesse des oscillations permet de simplifier
considérablement l'étude !
2.1.5 Unicite d'une eventuelle solution par consideration
de l'energie
Supposons que l'on dispose de deux solutions u1 et u2 de
l'équation (qui peut ici etre homogene ou avec second membre, ce qui ne
change rien a la démonstration), vérifiant les memes conditions
initiales et les memes conditions aux limites.
Posons u = ui -- u2 et introduisons la fonction d'énergie
suivante :
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E(t) = 1
2
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L
I
0
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( c2 1 (@u @t (x; t)2 + (@u
@x(x; t)2)dx
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Les hypotheses faites autorisent la dérivation de E sous
le signe intégral, et on a, puisque
u = ui -- U2
est aussi solution de l'équation des cordes vibrantes :
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E'(t) =
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L
I
0
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1 OU 02U OU 02U
( c2 ( at (x, 0 ate (x, 0 +
(ax (x, 0 atax(x, t))dx
|
=
L
I
0
OU 02U
((at (X, 0 0X2 02u (X, t) + (0x (X, t) 0t0x (X,
t))dX.
L'expression sous le signe intégral est une
dérivée et on a
ou
at (0' t) = at ou (L' t) = 0
par dérivation des relations
u(0,t) = u(L,t) = 0,
ce qui donne :
L
E'(t) = [ox 0u (x, t)O at (x, 01 =
0.
0
Par conséquent, la fonction t --p E(t) est
constante et, en fait, nulle puisque E(0) = 0 et du fait que, ui et u2
vérifiant les memes conditions initiales, leur différence u
vérifie :
- D'une part,
ou
at (x' 0) = 0,
- D'autre part, u(x, 0) = 0.
@u
Donc, par dérivation, @x(x; 0) = 0.
puisque E(t) = 0 on a donc pour t > 0 et 0 < x < L
@u @u
8x(x,t) = at (x,t) = 0:
La fonction u est par conséquent constante sur [0, L] x
[0, +oc], et en fait nulle puisque u(x, 0) = 0. ainsi,on a bien u1 = u2 et
l'unicité annoncée.
2.1.6 Vitesse de propogation
On vient de voir que l'effet d'une position ço(x) a
l'instant t = 0 est une paire d'ondes et qui se propagent dans les deux
directions a vitesse c. Si l'on a une vitesse (x) a l'instant t = 0, on obtient
une onde qui s'étale dans les deux directions, a une vitesse
inférieure ou égale a c. Dans tous les cas rien ne se propage a
vitesse plus grande que c. Autrement dit la valeur de la solution u au point
(x, t) ne dépend que des valeurs de en x - ct et en x + ct, et des
valeurs de sur l'intervalle [x - ct, x + ct]. Pour le voir il suffit de
reprendre l'expression de la solution donnée dans le
théorème de D'Alembert.
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