Etude d'une équation hyperbolique

2.1.3 Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables

Indiquons tous d'abord l'idée de la méthode.

On commence par rechercher des solutions multiplicatives non nulles de la forme

u(x, t) = X(x) x T(t)

qui vérifient les conditions aux limites2.12 Ici, de telles solutions vérifient donc :

X(x)T⁰⁰(t) = c²X⁰⁰(x)T(t).

Puisque l'on recherche des solutions non nulles, il existe a priori des nombres réels x0 et to pour lesquels :

X(x0) =6 0

et

T(t0) =6 0.

On en déduit, quitte a fixer x = x0, puis t = t0, l'existence de constantes A et telles que l'on ait pour t ~ 0 et 0 x < L :

X⁰⁰(x) = AX(x);

T⁰⁰(t) = T(t).

En reportant réciproquement dans l'équation, on voit que, en fait:

~ = c²A

et pour tenir compte des conditions aux limites, il faut enfin bien sur que :

u(0) = u(L) = 0.

(On est ainsi amené a résoudre un problème, ici trés simple, de Sturm-Liouville; on verra que cela est général dans cette méthode de séparation des variables).

· Si le nombre A est nul, alors :

X(x) = ax + b

et puisque u(0) = u(L) = 0, on a a = b = 0 et X est la solution nulle, ce qui est exclu.

· Si le nombre A est strictement positif, on a :

/ /

X(x) = ach( Ax) + /3sh( Ax)

et puisque X(0) = X(L) = 0, on a a = /3 = 0 et X est la solution nulle, ce qui est exclu.

· Si le nombre A est strictement négatif, on a :

_{J J}

X(x) = A cos( --Ax) + B sin( --Ax)

puisque X(0) = 0, on a A = 0 et puisque X(L) = 0, on a B = 0, donc encore X = 0, sauf s'il existe un nombre entier naturel non nul ii telque

u(x, t) =	+ . E n=1		, L L nilx nilct, Bn sin( )cos( )
2 B= ^n L		L I 0		f (x)sin(nilL x )dx
A =					_n^2il^2
					L2 '

auquels cas on obtient alors les solutions suivantes :

.

X (x) = A_n sm(

nfi

L x );

).

T(t) = B_n cos(^nilct) + C_ri sin( mild

L L

L'équation étant linéaire, les combinaisons linéaires des solutions précédentes sont encore solutions de réquation. L'idée est de ne pas se borner nécessairement a des "combinaisons linéaires finies" pour obtenir une solution.

Posons donc, de fawn purement formelle (on peut faire A_n, = 1) :

u(x, t) = E sin( nilx \

L i (B_n cos( nilct ) + C_m sin( nilct

L L )).

Les conditions de Chauchy portant sur u(x, 0) et at (x, 0) seront formellement vérifiées en choisissant
ot

les coefficients C_n nuls et les coefficients B_n tels que :

f (x) = E B_n sin(n L ilx ).

Un tel développement est celui d'une fonction impaire et 2L périodique sur R , que l'on obtient en prolongeant la fonction f par imparité sur [_L, L], puis par 2L-périodicité. La fonction f ainsi prolongée est clairement de classe C¹ sur R. Elle est a priori de classe C² sur R privé de l'ensemble LZ des multiples de L, sauf si elle vérifie la conditon supplémentaire

p(0) = f (L) = 0,

auquel cas elle est alors de classe C² sur R .

On en déduit qu'elle est développables en série de Fourier et que sa série de Fourier converge normalement vers f .

Si l'on pose pour t > 0 et 0 < x < L :

on voit que la série définissant u est normalement convergente sur [0, L]x[0, +oo], donc continue, et l'on vérifie aisément, a l'aide des formules de trigonométrie et du développement en série de Fourier de f, que l'on a :

2

·

u(x,t) = [f(x + ct) + fx ct)]

La fonction u obtenue ci-dessus est donc de classe C² sur [0, L] x [0, +oo] et solution de l'équation des cordes vibrantes si :

p(₀) = f(L) = 0.

Sinon, elle n'est de classe C² et solution de l'équation des cordes vibrantes que sur l'ensemble [0, L] x [0, +oo] privé des segments se droite d'équations

x #177; ct = kL

avec t > 0, 0 < x < L et k E Z.